О спектре оператора кривизны конформно (полу)плоских римановых метрик

Аннотация

При исследовании римановых многообразий важное значение имеет установление связи между различными типами кривизны и топологией риманова пространства. Одной из особых кривизн при этом является секционная кривизна. Наиболее наглядными примерами этого являются теоремы Адамара – Картана, М. Громова, теорема о сфере, теорема сравнения углов треугольника А.Д. Александрова − В.А. Топоногова, уравнения теории относительности А. Эйнштейна и ряд других результатов. В общем случае задача исследования римановых многообразий с ограничениями на секционную кривизну представляется достаточно сложной. Естественно поэтому рассматривать ее в классе однородных римановых пространств, в частности в классе групп Ли с левоинвариантной римановой метрикой. В данном направлении хорошо известны результаты М. Берже, С. Аллофа – Н. Уоллача, ряда других математиков по исследованию однородных римановых многообразий положительной секционной кривизны. Другим естественным ограничением является изучение секционной кривизны, а также ее оператора в классе конформно плоских римановых метрик. Данный класс метрик допускает удобное аналитическое представление, а спектр оператора секционной кривизны тесно связан с секционной кривизной. Исследован спектр оператора секционной кривизны конформно плоских римановых многообразий. Кроме того, изучен спектр оператора секционной кривизны в случае конформно полуплоских метрических групп Ли.

DOI 10.14258/izvasu(2015)1.1-19