Об операторах кривизны метрических групп Ли
Аннотация
Одной из важных проблем (псевдо)римановой геометрии является задача об установлении связей между кривизной, алгебраической и топологической структурой (псевдо)риманова многообразия. В этом направлении хорошо известны: теорема Адамара — Картана о полном односвязном римановом многообразии неположительной секционной кривизны, теорема М. Громова о римановом многообразии неотрицательной кривизны Риччи, теорема сравнения углов треугольника А.Д. Александрова — В.А. Топоногова, теорема о сфере, экстремальные теоремы в римановой геометрии и ряд других результатов. В общем случае задача исследования (псевдо)римановых многообразий с ограничениями на кривизну различного типа представляется достаточно сложной. Поэтому естественно рассматривать данную задачу в более узком классе (псевдо)римановых многообразий, например, в классе однородных (псевдо)римановых многообразий и, в частности, в классе метрических групп Ли. В обзоре приведены результаты по исследованию (псевдо)римановых метрик знакоопределенной кривизны, сигнатур операторов кривизны; освещены вопросы существования локально однородных (псевдо)римановых пространств и, в частности, метрических групп Ли с заданным спектром какого-либо оператора кривизны.
DOI 10.14258/izvasu(2016)1-23
Скачивания
Metrics
Литература
Громол Д., Клингенберг В., Мейер В. Риманова геометрия в целом. — М., 1971.
Громов М. Знак и геометрический смысл кривизны. — Ижевск, 1999.
Berger M. Les varietes riemannienes homogenes normales a courbure strictement positive // Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa. — 1961. — V. 15.
Wallach N.R. Compact homogeneous Riemannian manifoldswith strictly positive curvature // Ann. Math. — 1972. — V. 2, № 96.
Bergery L.B. Les varietes riemannienes invariantes homogenes simplement connexes de dimension impaire a courbure strictement positive // J. Math. Pur. Appl. IX. Ser. — 1976. — V. 55, № 1.
Alekseevskii D.V. Homogeneous Riemannian spaces of negative curvature // Math. Sb. (N.S.) — 1975. — V. 96.
Heintze E. On homogeneous manifolds of negative curvature // Mat. Ann. — 1974. — V. 211.
Bergery L.B. Sur la courbure des metriques riemanniennes invariantes des groupes de Lie et des espaces homogenes // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. — 1978. — V. 4, № 11.
Milnor J. Curvature of left invariant metric on Lie groups // Advances in mathematics. — 1976. — V. 21.
Berestovskii V.N. Homogeneous Riemannian manifolds of positive Ricci curvature // Math. Notes. — 1995. — V. 58.
Родионов Е.Д., Славский В.В. Одномерная секционная кривизна римановых многообразий // ДАН. — 2002. — Т. 387, № 4.
Dotti Miatello I. Ricci curvature of left invariant metrics on solvable unimodular Lie groups // Mathematische Zeitschrift. — 1982. — V. 180.
Alekseevskii D.V., Kimelfeld B.N. Structure of homogeneous Riemannian spaces with zero Ricci curvature // Funct. Anal. Appl. — 1975. — V. 9.
Nikolayevsky Y., Nikonorov Yu.G. On solvable Lie groups of negative Ricci curvature // Math. Z. — 2015. — V. 280.
Calvaruso G., Kowalski O. On the Ricci operator of locally homogeneous Lorentzian 3-manifolds // Cent. Eur. J. Math. — 2009. — V. 7 (1).
Stephani H., Kramer D., MacCallum M., Hoenselaers C., Herlt E. Exact Solutions of Einstein’s Field Equations. — Cambridge, 2003.
Кремлев А.Г., Никоноров Ю.Г. Сигнатура кривизны Риччи левоинвариантных римановых метрик на четырехмерных группах Ли. Унимодулярный случай // Мат. труды. — 2008. — Т. 11, № 2.
Кремлев А.Г., Никоноров Ю.Г. Сигнатура кривизны Риччи левоинвариантных римановых метрик на четырехмерных группах Ли. Неунимодулярный случай // Мат. труды. — 2009. — Т. 12, № 1.
Кремлев А.Г. Сигнатура кривизны Риччи левоинвариантных римановых метрик на пятимерных нильпотентных группах Ли // Сибирские электронные известия. — 2009. — Т. 6.
Чебарыков М.С. О кривизне Риччи неунимодулярных разрешимых метрических алгебр Ли // Мат. труды. — 2010. — Т. 13, № 1.
Воронов Д.С., Гладунова О.П. Сигнатура оператора одномерной кривизны на трехмерных группах Ли с левоинвариантной римановойметрикой // Известия Алтайского гос. ун-та. — 2010. — № 1/2.
Воронов Д.С., Гладунова О.П., Родионов Е.Д., Славский В.В. Об инвариантных тензорных полях на группах Ли малых размерностей // Владикавказский математический журнал. — 2012. — Т. 14, вып. 2.
Гладунова О.П., Родионов Е.Д., Славский В.В. Области знакоопределенной кривизны на трехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой // Известия Алтайского гос. ун-та. — 2012. — № 1/1.
Гладунова О.П., Родионов Е.Д., Славский В.В. Инвариантные тензорные поля на группах Ли // Вестник КемГУ: риманова геометрия. — 2011. — № 3/1.
Оскорбин Д.Н., Родионов Е.Д., Хромова О.П. О вычислении спектра оператора кривизны конформно (полу)плоских римановых метрик // Известия Алтайского гос. ун-та. — 2013. — № 1/2.
Оскорбин Д.Н., Родионов Е.Д., Хромова О.П. О спектре операторов кривизны конформно плоских групп Ли с левоинвариантной римановой метрикой // Доклады Академии наук. — 2015. — Т. 461, № 5.
Оскорбин Д.Н., Родионов Е.Д., Хромова О.П. О спектре оператора кривизны четырехмерных конформно плоских метрических групп Ли // Ломоносовские чтения на Алтае : cб. науч. ст. Междунар. школы-семинара, Барнаул, 5–8 ноября, 2013 : в 6 ч. — Барнаул, 2013. — Ч. 1.
Пастухова С.В., Хромова О.П. О сигнатуре оператора тензора кривизны Риччи трехмерных групп Ли с левоинвариантными лоренцевыми метриками // Известия Алтайского гос. ун-та. — 2015. — № 1/2.
Пастухова С.В., Хромова О.П. О сигнатуре оператора одномерной кривизны трехмерных групп Ли с левоинвариантными лоренцевыми метриками //МАК 2015 : cб. тр. восемнадцатой региональной конф. по математике. — Барнаул, 2015.
Пастухова С.В., Хромова О.П. О сигнатуре оператора тензора секционной кривизны трехмерных групп Ли с левоинвариантными лоренцевыми метриками // Дни геометрии в Новосибирске : тезисы Междунар. конф. — Новосибирск, 2015.
Kowalski O., Nikcevic S. On Ricci eigenvalues of locally homogeneous Riemann 3-manifolds // Geom. Dedicata. — 1996. — № 1.
Оскорбин Д.Н., Родионов Е.Д. О спектре оператора кривизны трехмерных групп Ли с левоинвариантной римановой метрикой // ДАН. — 2013. — Т. 450, № 3.
Клепиков П.Н. О допустимых значениях спектра оператора одномерной кривизны трехмерных групп Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой // Математика и ее приложения: фундаментальные проблемы науки и техники : сб. тр. Всеросс. конф., Барнаул, 24–26 ноября, 2015. — Барнаул, 2015.
Пастухова С.В., Хромова О.П. О предписанных значениях операторов тензоров Риччи и одномерной кривизны трехмерных групп Ли с левоинвариантными лоренцевыми метриками // Дни геометрии в Новосибирске : тезисы Междунар. конф. — Новосибирск, 2015.
Клепикова С.В., Хромова О.П. О спектре оператора тензора одномерной кривизны левоинвариантных лоренцевых метрик трехмерных групп Ли // Математика и ее приложения: фундаментальные проблемы науки и техники : сб. тр. Всеросс. конф., Барнаул, 24–26 ноября, 2015. — Барнаул, 2015.
Никоноров Ю.Г., Родионов Е.Д., Славский B.B. Геометрия однородных римановых многообразий // Современная математика и ее приложения. Геометрия. — 2006. — Т. 37.
Гладунова О.П., Родионов Е.Д., Славский В.В. О спектре оператора кривизны конформно плоских римановых многообразий // ДАН. — 2013. — Т. 450, № 2.
Бессе А. Многообразия Эйнштейна: в 2 т. — М., 1990.
Алексеевский Д.В., Кимельфельд Б.Н. Классификация однородных конформно плоских римановых многообразий // Мат. заметки. — 1978. — Т. 24. — № 1.
Takagi H. Conformally flat Riemannian manifolds admitting a transitive group of isometries // Tohoku Math. J. — 1975. — V. 27, № 1.
Takagi H. Conformally flat Riemannian manifolds admitting a transitive group of isometries II // Tohoku Math. J. — 1975. — V. 27, № 3.
Honda K., Tsukada K. Three-dimensional conformally flat homogeneous Lorentzian manifolds // J. Phys. A: Math. Theor. — 2007. — V. 40.
Calvaruso G. Einstein-like metrics on threedimensional homogeneous Lorentzian manifolds // Geom. Dedicata. — 2007. — V. 127.
Honda K., Tsukada K. Conformally flat homogeneous Lorentzian manifolds // Proceedings of the conference “GELOGRA”. — Granada, 2011.
Calvaruso G., Zaeim A. Conformally flat homogeneous pseudo-Riemannian four-manifolds // Tohoku math. J. — 2014. — V. 66, № 1.
Гладунова О.П., Родионов Е.Д., Славский В.В. О конформно полуплоских 4-мерных группах Ли // Владикавказский математический журнал. — 2011. — Т. 13, № 3.
Гладунова О.П., Родионов Е.Д., Славский В.В. О конформно полуплоских 4-мерных алгебрах Ли // ДАН. — 2012. — Т. 442, № 3.
Яно К., Бохнер С. Кривизна и числа Бетти. — М., 1957.
Гладунова О.П. Применение пакетов аналитических вычислений для нахождения инваринтных тензорных полей на однородных пространствах: диcс. ... канд. ф.-м. наук. — Барнаул, 2008.
Гладунова О.П., Родионов Е.Д., Славский В.В. О гармонических тензорах на трехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой // ДАН. — 2008. — Т. 419. — № 6.
Gladunova O.P., Rodionov E.D., Slavskii V.V. Harmonic Tensors on Three-Dimensional Lie Groups with Left-Invariant Lorentz Metric // Journal of Mathematical Sciences, New York. — 2014. — V. 198. — № 5.
Гладунова О.П., Родионов Е.Д., Славский В.В. О гармонических тензорах на трехмерных группах Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой // ДАН. — 2009. — Т. 428. — № 6.
Гладунова О.П., Родионов Е.Д., Славский В.В. О гармонических тензорах на трехмерных группах Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой // Вестник НГУ: Математика, механика, информатика. — 2012. — Т. 12., вып. 1.
Родионов Е., Славский В., Гладунова О. О компонентах разложения тензора кривизны на группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой. — Saarbrucken, 2012.
Балащенко В.В., Никоноров Ю.Г., Родионов Е.Д., Славский В.В. Однородные пространства: теория и приложения. — Ханты-Мансийск, 2008.
Listing M. Conformal Einstein spaces in N-dimensions // Ann. Global Anal. Geom. 2001. — V. 20.
Гладунова О.П., Славский В.В. О гармоничности тензора Вейля левоинвариантных римановых метрик на четырехмерных унимодулярных группах Ли // Мат. труды. — 2011. — Т. 14. — № 1.
Родионов Е.Д., Славский В.В., Хромова О.П. О гармоничности тензора Вейля левоинвариантных римановых метрик на четырехмерных неунимодулярных разложимых группах Ли // Известия Алтайского гос. ун-та. — 2014. — № 1/1.
Родионов Е.Д., Славский В.В., Хромова О.П. О гармоничности тензора Вейля левоинвариантных римановых метрик на четырехмерных неунимодулярных неразложимых группах Ли // Известия Алтайского гос. ун-та. — 2014. — № 1/2.
Клепиков П.Н., Хромова О.П. О гармоничности тензора конциркулярной кривизны левоинвариантных (псевдо)римановых метрик трехмерных групп Ли // Анализ, геометрия и топология : тр. Всеросс. молодежной школы-семинара, Барнаул, 2–4 октября, 2013 : в 2 ч. — Барнаул, 2013. — Ч. 1.
Клепиков П.Н., Хромова О.П. Четырехмерные группы Ли с левоинвариантной римановой метрикой и гармоническим тензором конциркулярной кривизны // Известия Алтайского гос. ун-та. — 2014. — № 1/2.
Yano К. Concircular geometry, I–IV // Proc. Imp. Acad. Tokyo. — 1940. — V. 16.
