On the Curvature Operators of Metric Lie Groups
Abstract
The problem of establishing links between the curvature, the algebraic and topological structure of a (pseudo)Riemannian manifold is one of the important problems of the (pseudo)Riemannian geometry. There are several well known researches and results: the Hadamard — Cartan theorem about the complete simply-connected Riemannian manifold of non-positive sectional curvature, Gromov theorem about Riemannian manifolds of nonnegative Ricci curvature, comparison angles triangle theorem by A.D. Alexandrov — V.A. Toponogov, theorem on the sphere, extreme theorem in the Riemannian geometry and some other results. In general, the purpose of the research of (pseudo)Riemannian manifolds with restrictions on curvature of various types is rather complicated. Therefore, it is natural to consider this problem in a narrower class of (pseudo)Riemannian manifolds, for example, in the class of homogeneous (pseudo)Riemannian manifolds and, in particular, in the class of metric Lie groups. The article presents the results of research of (pseudo) Riemannian metrics of sign-definite curvature, signatures of the curvature operators; the questions of the existence of a locally homogeneous (pseudo) Riemannian spaces and, in particular, the metric Lie groups with a given spectrum any operator curvature.
DOI 10.14258/izvasu(2016)1-23
Downloads
Metrics
References
Громол Д., Клингенберг В., Мейер В. Риманова геометрия в целом. — М., 1971.
Громов М. Знак и геометрический смысл кривизны. — Ижевск, 1999.
Berger M. Les varietes riemannienes homogenes normales a courbure strictement positive // Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa. — 1961. — V. 15.
Wallach N.R. Compact homogeneous Riemannian manifoldswith strictly positive curvature // Ann. Math. — 1972. — V. 2, № 96.
Bergery L.B. Les varietes riemannienes invariantes homogenes simplement connexes de dimension impaire a courbure strictement positive // J. Math. Pur. Appl. IX. Ser. — 1976. — V. 55, № 1.
Alekseevskii D.V. Homogeneous Riemannian spaces of negative curvature // Math. Sb. (N.S.) — 1975. — V. 96.
Heintze E. On homogeneous manifolds of negative curvature // Mat. Ann. — 1974. — V. 211.
Bergery L.B. Sur la courbure des metriques riemanniennes invariantes des groupes de Lie et des espaces homogenes // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. — 1978. — V. 4, № 11.
Milnor J. Curvature of left invariant metric on Lie groups // Advances in mathematics. — 1976. — V. 21.
Berestovskii V.N. Homogeneous Riemannian manifolds of positive Ricci curvature // Math. Notes. — 1995. — V. 58.
Родионов Е.Д., Славский В.В. Одномерная секционная кривизна римановых многообразий // ДАН. — 2002. — Т. 387, № 4.
Dotti Miatello I. Ricci curvature of left invariant metrics on solvable unimodular Lie groups // Mathematische Zeitschrift. — 1982. — V. 180.
Alekseevskii D.V., Kimelfeld B.N. Structure of homogeneous Riemannian spaces with zero Ricci curvature // Funct. Anal. Appl. — 1975. — V. 9.
Nikolayevsky Y., Nikonorov Yu.G. On solvable Lie groups of negative Ricci curvature // Math. Z. — 2015. — V. 280.
Calvaruso G., Kowalski O. On the Ricci operator of locally homogeneous Lorentzian 3-manifolds // Cent. Eur. J. Math. — 2009. — V. 7 (1).
Stephani H., Kramer D., MacCallum M., Hoenselaers C., Herlt E. Exact Solutions of Einstein’s Field Equations. — Cambridge, 2003.
Кремлев А.Г., Никоноров Ю.Г. Сигнатура кривизны Риччи левоинвариантных римановых метрик на четырехмерных группах Ли. Унимодулярный случай // Мат. труды. — 2008. — Т. 11, № 2.
Кремлев А.Г., Никоноров Ю.Г. Сигнатура кривизны Риччи левоинвариантных римановых метрик на четырехмерных группах Ли. Неунимодулярный случай // Мат. труды. — 2009. — Т. 12, № 1.
Кремлев А.Г. Сигнатура кривизны Риччи левоинвариантных римановых метрик на пятимерных нильпотентных группах Ли // Сибирские электронные известия. — 2009. — Т. 6.
Чебарыков М.С. О кривизне Риччи неунимодулярных разрешимых метрических алгебр Ли // Мат. труды. — 2010. — Т. 13, № 1.
Воронов Д.С., Гладунова О.П. Сигнатура оператора одномерной кривизны на трехмерных группах Ли с левоинвариантной римановойметрикой // Известия Алтайского гос. ун-та. — 2010. — № 1/2.
Воронов Д.С., Гладунова О.П., Родионов Е.Д., Славский В.В. Об инвариантных тензорных полях на группах Ли малых размерностей // Владикавказский математический журнал. — 2012. — Т. 14, вып. 2.
Гладунова О.П., Родионов Е.Д., Славский В.В. Области знакоопределенной кривизны на трехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой // Известия Алтайского гос. ун-та. — 2012. — № 1/1.
Гладунова О.П., Родионов Е.Д., Славский В.В. Инвариантные тензорные поля на группах Ли // Вестник КемГУ: риманова геометрия. — 2011. — № 3/1.
Оскорбин Д.Н., Родионов Е.Д., Хромова О.П. О вычислении спектра оператора кривизны конформно (полу)плоских римановых метрик // Известия Алтайского гос. ун-та. — 2013. — № 1/2.
Оскорбин Д.Н., Родионов Е.Д., Хромова О.П. О спектре операторов кривизны конформно плоских групп Ли с левоинвариантной римановой метрикой // Доклады Академии наук. — 2015. — Т. 461, № 5.
Оскорбин Д.Н., Родионов Е.Д., Хромова О.П. О спектре оператора кривизны четырехмерных конформно плоских метрических групп Ли // Ломоносовские чтения на Алтае : cб. науч. ст. Междунар. школы-семинара, Барнаул, 5–8 ноября, 2013 : в 6 ч. — Барнаул, 2013. — Ч. 1.
Пастухова С.В., Хромова О.П. О сигнатуре оператора тензора кривизны Риччи трехмерных групп Ли с левоинвариантными лоренцевыми метриками // Известия Алтайского гос. ун-та. — 2015. — № 1/2.
Пастухова С.В., Хромова О.П. О сигнатуре оператора одномерной кривизны трехмерных групп Ли с левоинвариантными лоренцевыми метриками //МАК 2015 : cб. тр. восемнадцатой региональной конф. по математике. — Барнаул, 2015.
Пастухова С.В., Хромова О.П. О сигнатуре оператора тензора секционной кривизны трехмерных групп Ли с левоинвариантными лоренцевыми метриками // Дни геометрии в Новосибирске : тезисы Междунар. конф. — Новосибирск, 2015.
Kowalski O., Nikcevic S. On Ricci eigenvalues of locally homogeneous Riemann 3-manifolds // Geom. Dedicata. — 1996. — № 1.
Оскорбин Д.Н., Родионов Е.Д. О спектре оператора кривизны трехмерных групп Ли с левоинвариантной римановой метрикой // ДАН. — 2013. — Т. 450, № 3.
Клепиков П.Н. О допустимых значениях спектра оператора одномерной кривизны трехмерных групп Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой // Математика и ее приложения: фундаментальные проблемы науки и техники : сб. тр. Всеросс. конф., Барнаул, 24–26 ноября, 2015. — Барнаул, 2015.
Пастухова С.В., Хромова О.П. О предписанных значениях операторов тензоров Риччи и одномерной кривизны трехмерных групп Ли с левоинвариантными лоренцевыми метриками // Дни геометрии в Новосибирске : тезисы Междунар. конф. — Новосибирск, 2015.
Клепикова С.В., Хромова О.П. О спектре оператора тензора одномерной кривизны левоинвариантных лоренцевых метрик трехмерных групп Ли // Математика и ее приложения: фундаментальные проблемы науки и техники : сб. тр. Всеросс. конф., Барнаул, 24–26 ноября, 2015. — Барнаул, 2015.
Никоноров Ю.Г., Родионов Е.Д., Славский B.B. Геометрия однородных римановых многообразий // Современная математика и ее приложения. Геометрия. — 2006. — Т. 37.
Гладунова О.П., Родионов Е.Д., Славский В.В. О спектре оператора кривизны конформно плоских римановых многообразий // ДАН. — 2013. — Т. 450, № 2.
Бессе А. Многообразия Эйнштейна: в 2 т. — М., 1990.
Алексеевский Д.В., Кимельфельд Б.Н. Классификация однородных конформно плоских римановых многообразий // Мат. заметки. — 1978. — Т. 24. — № 1.
Takagi H. Conformally flat Riemannian manifolds admitting a transitive group of isometries // Tohoku Math. J. — 1975. — V. 27, № 1.
Takagi H. Conformally flat Riemannian manifolds admitting a transitive group of isometries II // Tohoku Math. J. — 1975. — V. 27, № 3.
Honda K., Tsukada K. Three-dimensional conformally flat homogeneous Lorentzian manifolds // J. Phys. A: Math. Theor. — 2007. — V. 40.
Calvaruso G. Einstein-like metrics on threedimensional homogeneous Lorentzian manifolds // Geom. Dedicata. — 2007. — V. 127.
Honda K., Tsukada K. Conformally flat homogeneous Lorentzian manifolds // Proceedings of the conference “GELOGRA”. — Granada, 2011.
Calvaruso G., Zaeim A. Conformally flat homogeneous pseudo-Riemannian four-manifolds // Tohoku math. J. — 2014. — V. 66, № 1.
Гладунова О.П., Родионов Е.Д., Славский В.В. О конформно полуплоских 4-мерных группах Ли // Владикавказский математический журнал. — 2011. — Т. 13, № 3.
Гладунова О.П., Родионов Е.Д., Славский В.В. О конформно полуплоских 4-мерных алгебрах Ли // ДАН. — 2012. — Т. 442, № 3.
Яно К., Бохнер С. Кривизна и числа Бетти. — М., 1957.
Гладунова О.П. Применение пакетов аналитических вычислений для нахождения инваринтных тензорных полей на однородных пространствах: диcс. ... канд. ф.-м. наук. — Барнаул, 2008.
Гладунова О.П., Родионов Е.Д., Славский В.В. О гармонических тензорах на трехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой // ДАН. — 2008. — Т. 419. — № 6.
Gladunova O.P., Rodionov E.D., Slavskii V.V. Harmonic Tensors on Three-Dimensional Lie Groups with Left-Invariant Lorentz Metric // Journal of Mathematical Sciences, New York. — 2014. — V. 198. — № 5.
Гладунова О.П., Родионов Е.Д., Славский В.В. О гармонических тензорах на трехмерных группах Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой // ДАН. — 2009. — Т. 428. — № 6.
Гладунова О.П., Родионов Е.Д., Славский В.В. О гармонических тензорах на трехмерных группах Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой // Вестник НГУ: Математика, механика, информатика. — 2012. — Т. 12., вып. 1.
Родионов Е., Славский В., Гладунова О. О компонентах разложения тензора кривизны на группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой. — Saarbrucken, 2012.
Балащенко В.В., Никоноров Ю.Г., Родионов Е.Д., Славский В.В. Однородные пространства: теория и приложения. — Ханты-Мансийск, 2008.
Listing M. Conformal Einstein spaces in N-dimensions // Ann. Global Anal. Geom. 2001. — V. 20.
Гладунова О.П., Славский В.В. О гармоничности тензора Вейля левоинвариантных римановых метрик на четырехмерных унимодулярных группах Ли // Мат. труды. — 2011. — Т. 14. — № 1.
Родионов Е.Д., Славский В.В., Хромова О.П. О гармоничности тензора Вейля левоинвариантных римановых метрик на четырехмерных неунимодулярных разложимых группах Ли // Известия Алтайского гос. ун-та. — 2014. — № 1/1.
Родионов Е.Д., Славский В.В., Хромова О.П. О гармоничности тензора Вейля левоинвариантных римановых метрик на четырехмерных неунимодулярных неразложимых группах Ли // Известия Алтайского гос. ун-та. — 2014. — № 1/2.
Клепиков П.Н., Хромова О.П. О гармоничности тензора конциркулярной кривизны левоинвариантных (псевдо)римановых метрик трехмерных групп Ли // Анализ, геометрия и топология : тр. Всеросс. молодежной школы-семинара, Барнаул, 2–4 октября, 2013 : в 2 ч. — Барнаул, 2013. — Ч. 1.
Клепиков П.Н., Хромова О.П. Четырехмерные группы Ли с левоинвариантной римановой метрикой и гармоническим тензором конциркулярной кривизны // Известия Алтайского гос. ун-та. — 2014. — № 1/2.
Yano К. Concircular geometry, I–IV // Proc. Imp. Acad. Tokyo. — 1940. — V. 16.
Izvestiya of Altai State University is a golden publisher, as we allow self-archiving, but most importantly we are fully transparent about your rights.
Authors may present and discuss their findings ahead of publication: at biological or scientific conferences, on preprint servers, in public databases, and in blogs, wikis, tweets, and other informal communication channels.
Izvestiya of Altai State University allows authors to deposit manuscripts (currently under review or those for intended submission to Izvestiya of Altai State University) in non-commercial, pre-print servers such as ArXiv.
Authors who publish with this journal agree to the following terms:
- Authors retain copyright and grant the journal right of first publication with the work simultaneously licensed under a Creative Commons Attribution License (CC BY 4.0) that allows others to share the work with an acknowledgement of the work's authorship and initial publication in this journal.
- Authors are able to enter into separate, additional contractual arrangements for the non-exclusive distribution of the journal's published version of the work (e.g., post it to an institutional repository or publish it in a book), with an acknowledgement of its initial publication in this journal.
- Authors are permitted and encouraged to post their work online (e.g., in institutional repositories or on their website) prior to and during the submission process, as it can lead to productive exchanges, as well as earlier and greater citation of published work (See The Effect of Open Access).
