On a Torus Model
Abstract
The surface of parallel transfer is a surface that admits the parametrization r(u,v) = U(u) + V(v). The surface of parallel transfer in E3 can be considered as a surface produced by parallel transfer of one line along the other.
In this study the torus M is different from the classic torus T, which is obtained by rotating the circle along the axis. We consider the torus as the surface of parallel transfer obtained by parallel transfer of one circle along the other. The circles are located in mutually orthogonal intersecting planes.
The closed curve on the torus M is defined with the 4n-periodic vector-function.
Using this function, the equations of one-sided surfaces are obtained. In particular, the equation of the Mobius band with the mentioned curve being the boundary is found.
The Klein bottle is cut into two Moebius band. Also, the cross-cap is considered.
The inversion of torus T and the inversion of torus M is studied in this paper.
The studied surfaces are constructed in Euclidean space E3 with the help of a mathematical software toolkit.
DOI 10.14258/izvasu(2018)1-24
Downloads
Metrics
References
Шуликовский В.И. Классическая дифференциальная геометрия. — М., 1963.
Кривошапко С.Н., Иванов В.Н., Халаби С.М. Аналитические поверхности. — М., 2006.
Кондрашов А.Н. Минимальные поверхности переноса в псевдоевклидовом пространстве // Межд. конференция-школа по геометрии и анализу, Новосибирск, 9-20 сентября 2002. — Новосибирск, 2002.
Чешкова М.А. Односторонние поверхности. — Барнаул, 2016.
Фоменко В.Т. Бесконечно малые ARG-деформации тора Клиффорда в E4 // Вестник ТГПИ, Естественные науки. — 2007. — № 1.
Taimanov L.A. Finite-cap teory of the Clifford torus // International Mathematics Research Notices. — 2005. — № 2.
Борисович Ю.Г., Близняков Н.М., Израилевич Я.А., Фоменко Т.Н. Введение в топологию. — М., 1995.
Поздняк Э.Г., Шикин Е.В. Дифференциальная геометрия: первое знакомство. — М., 1990.
Сабитов И.Х. Изометрические погружения и вложения плоского листа Мебиуса в евклидовы пространства // Известия РАН. — 2007. — Т. 71, № 5.
Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. — М., 1981.
Борисюк А.Р. Глобальные бифуркации на бутылке Клейна. Общий случай // Математический сборник. — 2005. — Т. 196. № 4.
Набеева Л.Р. Классификация узлов в утолшенной бутылке Клейна // Вестник Челябинского гос. ун-та. — 2012. — № 26 (280).
Карпухин М.А. Немаксимальность экстремальных метрик на торе и бутылке Клейна //Математический сборник. — 2013. — Т. 204, № 12.
Журавлев В.Г. Множества ограниченного остатка на двулистной накрывающей бутылке Клейна // Записки научных семинаров Санкт-Петербургского отделения математического института им. В.А. Стеклова РАН. — 2014. — Т. 429, № 29.
Немировский С.Ю. Гомологический класс лагранжевой бутылки Клейна // Известия РАН. Сер. математическая. — 2009. — Т. 73, № 4.
Шевчишин В.В. Лагранжевы вложения бутылки Клейна и комбинаторные свойства группы классов отображений // Известия РАН. Сер. математическая. — 2009. — Т. 73, № 4.
Козлов И.К. Классификация лагранже-вых расслоений // Математический сборник. — 2010. — Т. 201, № 11.
Шалагинов М.Ю., Иванов М.Г., Долгополов М.В. Задачи с оператором Лапласса на топологических поверхностях // Вестник Самарского гос. техни. ун-та. Сер.: Физико-математические науки. — 2011. — № 2.
Розенфельд Б.А. Многомерные пространства. — М., 1966.
Чешкова М.А. Пример инверсии бутылки Клейна // Труды семинара по геометрии и математическому моделированию. — Барнаул, 2016. — Вып. 2.
Copyright (c) 2018 М.А. Чешкова
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.
Izvestiya of Altai State University is a golden publisher, as we allow self-archiving, but most importantly we are fully transparent about your rights.
Authors may present and discuss their findings ahead of publication: at biological or scientific conferences, on preprint servers, in public databases, and in blogs, wikis, tweets, and other informal communication channels.
Izvestiya of Altai State University allows authors to deposit manuscripts (currently under review or those for intended submission to Izvestiya of Altai State University) in non-commercial, pre-print servers such as ArXiv.
Authors who publish with this journal agree to the following terms:
- Authors retain copyright and grant the journal right of first publication with the work simultaneously licensed under a Creative Commons Attribution License (CC BY 4.0) that allows others to share the work with an acknowledgement of the work's authorship and initial publication in this journal.
- Authors are able to enter into separate, additional contractual arrangements for the non-exclusive distribution of the journal's published version of the work (e.g., post it to an institutional repository or publish it in a book), with an acknowledgement of its initial publication in this journal.
- Authors are permitted and encouraged to post their work online (e.g., in institutional repositories or on their website) prior to and during the submission process, as it can lead to productive exchanges, as well as earlier and greater citation of published work (See The Effect of Open Access).
