Локальная разрешимость в классе непрерывных функций задачи о движении жидкости в деформируемой пористой среде

  • А.А. Папин Алтайский государственный университет (Барнаул, Россия)
  • М.А. Токарева Алтайский государственный университет (Барнаул, Россия)
Ключевые слова: фильтрация, пороупругость, магма, закон Дарси, глобальная разрешимость

Аннотация

Процесс фильтрации вязкой жидкости в деформируемой пористой среде, обладающей преимущественно вязкими свойствами, описывается системой уравнений, которая включает в себя уравнения сохранения массы для жидкой фазы и пороупругого скелета, закон сохранения импульса в форме закона Дарси, учитывающего движение твердого скелета, закон сохранения импульса системы в целом и уравнение для эффективного давления и пористости в форме реологического закона типа Максвела. Если плотности жидкости и пороупругого скелета берутся постоянными, то система является замкнутой, а в одномерном случае в переменных Лагранжа сводится к одному нелинейному уравнению для функции пористости. Данная работа посвящена математическому обоснованию предложенной модели. Доказаны две теоремы о локальной разрешимости задачи фильтрации жидкости в пороупругой среде. Приводится краткий обзор по теме работы, даются постановка задачи и формулировка основных результатов статьи. Установлена локальная теорема существования гладкого решения начально-краевой задачи в классе непрерывных функций (теорема 1). Установлена локальная разрешимость задачи в гельдеровских классах (теорема 2). Теорема 1 доказана на основе теоремы Гильберта для краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, а теорема 2 – на основе теоремы Тихонова – Шаудера о неподвижной точке. Основным моментом является доказательство физического принципа максимума для пористости.

DOI 10.14258/izvasu(2017)4-25

Скачивания

Данные скачивания пока не доступны.

Биографии авторов

А.А. Папин, Алтайский государственный университет (Барнаул, Россия)
доктор физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой дифференциальных уравнений
М.А. Токарева, Алтайский государственный университет (Барнаул, Россия)
старший преподаватель кафедры дифференциальных уравнений

Литература

Fowler A. Mathematical Geoscience // Interdisciplinary Applied Mathematics. — 2011 — 36.

Френкель Я.И. К теории сейсмических и сейсмоэлектрических явлений во влажной почве // Изв. Акад. наук СССР. — 1944. — Т. VIII, №4.

Золотарев П.П. Распространение звуковых волн в насыщенной газом пористой среде с жестким скелетом // Инженерный журнал. — 1964. - Т. IV.

Рахматулин Х.А. Основы газодинамики взаимопроникающих движений сжимаемых сред // ПММ. — 1956. — Т. XX.

Бочаров О.Б. О фильтрации двух несмешивающихся жидкостей в сжимаемом пласте // Динамика сплошной среды / СО АН СССР, Ин-т гидродинамики. — 1981. — Вып. 50.

Vedernikov V.V., Nikolaevskii V.N. Mechanics equations for porous medium saturated by a two-phase liquid // Izvestiya Akademii Nauk SSSR, Mekhanika Zhidkosti i Gaza. — 1978. — No. 5.

Бочаров О.Б., Рудяк В.Я., Серяков А.В. Простейшие модели деформирования пороупругой среды, насыщенной флюидами // Физикотехнические проблемы разработки полезных ископаемых. — 2014. — № 2.

Rudyak V.Ya., Bocharov O.B., Seryakov A.V. Hierarchical sequence of models and deformation peculiarities of porous media saturated with fluids // Proceedings of the XLI Summer School-Conference Advanced Problems in Mechanics (APM-2013), July 1-6, — St-Petersburg, 2013.

Simpson M., Spiegelman M., Weinstein M.I. Degenerate dispersive equations arising in the stady of magma dynamics // Nonlinearity. — 2007. — V. 20.

Abourabia A.M., Hassan K.M., Morad A.M. Analytical solutions of the magma equations for rocks in a grnular matrix // Chaos Solutions Fract. — 2009. — V. 42.

Geng Y., Zhang L. Bifurcations of traveling wave solutions for the magma equation // Applied Mathematics and computation. — 2010. — V. 217.

Tokareva M.A. Localization of solutions of the equations of filtration in poroelastic medium // Журнал Сибирского федерального университета. Серия: Математика и физика. — 2015. — Т. 8, № 4.

Токарева М.А. Конечное время стабилизации решения уравнений фильтрации жидкости в пороупругой среде // Известия Алтайского гос. ун-та. — 2015. — № 1/2. DOI: 10.14258/izvasu(2015)1.2-28.

Папин А.А., Токарева М.А. О разрешимости в целом начально-краевой задачи для системы уравнений, описывающей движение магмы // Известия Алтайского гос. ун-та. — 2017. — №1(93). DOI: 10.14258/izvasu(2017)1-22.

Tokareva M.A. Solvability of initial boundary value problem for the equations of filtration in poroelastic media // Journal of Physics: Conference Series 722 (2016) 012037. Doi:10.1088/1742-6596/722/1/012037.

Ларькин Н.А., Новиков В.А., Яненко Н.Н. Нелинейные уравнения переменного типа. — Новосибирск, 1983.

Лизоркин П.И. Курс дифференциальных и интегральных уравнений с дополнительными главами анализа. — М., 1981.

Папин А.А. Краевые задачи двухфазной фильтрации — Барнаул, 2009.

Антонцев С.Н., Кажихов А. В., Монахов В. Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. — Новосибирск, 1983.

Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. — М., 1973.

Как цитировать
Папин, А., & Токарева, М. (1). Локальная разрешимость в классе непрерывных функций задачи о движении жидкости в деформируемой пористой среде. Известия Алтайского государственного университета, (4(96). https://doi.org/10.14258/izvasu(2017)4-25