Локальная разрешимость в классе непрерывных функций задачи о движении жидкости в деформируемой пористой среде

Аннотация

Процесс фильтрации вязкой жидкости в деформируемой пористой среде, обладающей преимущественно вязкими свойствами, описывается системой уравнений, которая включает в себя уравнения сохранения массы для жидкой фазы и пороупругого скелета, закон сохранения импульса в форме закона Дарси, учитывающего движение твердого скелета, закон сохранения импульса системы в целом и уравнение для эффективного давления и пористости в форме реологического закона типа Максвела. Если плотности жидкости и пороупругого скелета берутся постоянными, то система является замкнутой, а в одномерном случае в переменных Лагранжа сводится к одному нелинейному уравнению для функции пористости. Данная работа посвящена математическому обоснованию предложенной модели. Доказаны две теоремы о локальной разрешимости задачи фильтрации жидкости в пороупругой среде. Приводится краткий обзор по теме работы, даются постановка задачи и формулировка основных результатов статьи. Установлена локальная теорема существования гладкого решения начально-краевой задачи в классе непрерывных функций (теорема 1). Установлена локальная разрешимость задачи в гельдеровских классах (теорема 2). Теорема 1 доказана на основе теоремы Гильберта для краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, а теорема 2 – на основе теоремы Тихонова – Шаудера о неподвижной точке. Основным моментом является доказательство физического принципа максимума для пористости.

DOI 10.14258/izvasu(2017)4-25