О разрешимости «в целом» начально-краевой задачи для системы уравнений, описывающей движение магмы
Аннотация
Исследовано математическое обоснование одной модели движения вязкой жидкости в поро-упругой среде. Рассматриваемая система уравнений является обобщением классических моделей фильтрации, в которой пористость является заданной функцией. Учет сжимаемости пористой среды является принципиальным моментом. В основе рассматриваемой модели лежат уравнения сохранения массы жидкости и пористого скелета, закон Дарси для жидкости, учитывающий движение пористого скелета, реологическое уравнение для пористости и условие равновесия «системы в целом». Приводится краткий обзор основных результатов по рассматриваемой проблеме. Далее дана постановка задачи одномерного движения магмы в переменных Эйлера. Переход в переменные Лагранжа позволяет свести исходную систему к одному уравнению третьего порядка неклассического типа. Установлена локальная теорема существования гладкого решения начально-краевой задачи при модельных зависимостях коэффициента фильтрации и коэффициента упругости скелета от пористости, а также доказана глобальная разрешимость задачи. При доказательстве основную роль играют глобальные априорные оценки, причем центральными из них являются оценки строгой положительности и ограниченности пористости.
DOI 10.14258/izvasu(2017)1-22
Скачивания
Metrics
Литература
Connolly J.A.D., Podladchikov Y.Y. Compaction-driven fluid flow in viscoelastic rock // Geodin. Acta. - 1998. - Vol. 11.
Fowler A. Mathematical Geoscience//Interdisciplinary Applied Mathematics. - 2011. - 36.
Terzaghi K. Die Berechnung der DurchlaЁssigkeitsziffer des Tones aus dem Verlauf der hydrodynamischen Spannungserscheinungen, Sitzungsber. Akad. Wis. Wien, Math. Nat. Klasse, Abt. Ila. - 1923. - Vol. 132.
Biot M. A. General theory of threedimensional consolidation // J. Appl. Phys. - 1941. - Vol. 12.
Френкель Я.И. К теории сейсмических и сейсмоэлектрических явлений во влажной почве // Изв. Акад. наук СССР. - 1944. - Т. VIII, №. 4.
Николаевский В.Н. О распространении продольных волн в насыщенных жидкостью упругих пористых средах // Инженерный журнал. - 1963. - Т. III, вып. 2.
Золотарев П.П. Распространение звуковых волн в насыщенной газом пористой среде с жестким скелетом // Инженерный журнал. - 1964. - Т. IV.
Рахматулин Х.А. Основы газодинамики взаимопроникающих движений сжимаемых сред // ПММ. - 1956. - Т. XX.
Антонцев С.Н., Кажихов А.В., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. - Новосибирск, 1983.
Алексеев Г.В., Хуснутдинова Н.В. О разрешимости первой краевой задачи и задачи коши для уравнения одномерной фильтрации двухфазной жидкости // Докл. АН СССР. - 1972 - Т. 202, № 2.
Доманский А.В. О некоторых краевых задачах фильтрации несмешивающихся жидкостей // Математические модели фильтрации и их приложения : c6. науч. тр. / СО РАН. Ин-т гидродинамики. - 1999.
Кружков С.Н., Сукорянский С.М. Краевые задачи для систем уравнений типа двухфазной фильтрации; постановка задач, вопросы разрешимости, обоснование приближенных методов // Матем. сб. - 1977. - T. 104(146), № 1(9).
Бочаров О.Б. О фильтрации двух несмешивающихся жидкостей в сжимаемом пласте // Динамика сплошной среды / СО АН СССР, Ин-т гидродинамики. - 1981. - Вып. 50.
Vedernikov V.V., Nikolaevskii V.N. Mechanics equations for porous medium saturated by a two-phase liquid // Izvestiya Akademii Nauk SSSR, Mekhanika Zhidkosti i Gaza. - 1978. - № 5.
Бочаров О.Б., Рудяк В.Я., Серяков А.В. Простейшие модели деформирования пороупругой среды, насыщенной флюидами // Физикотехнические проблемы разработки полезных ископаемых. - 2014. - № 2.
Rudyak V.Ya., Bocharov O.B., Seryakov A.V. Hierarchical sequence of models and deformation peculiarities of porous media saturated with fluids // Proceedings of the XLI Summer School-Conference Advanced Problems in Mechanics (APM-2013). July 1-6; St-Petersburg. 2013.
Simpson M., Spiegelman M., Weinstein M.I. Degenerate dispersive equations arising in the stady of magma dynamics // Nonlinearity. - 2007. - Vol. 20.
Abourabia A.M., Hassan K.M., Morad A.M. Analytical solutions of the magma equations for rocks in a grnular matrix // Chaos Solutions Fract. - 2009. - Vol. 42.
Geng Y., Zhang L. Bifurcations of traveling wave solutions for the magma equation // Applied Mathematics and computation. - 2010. - Vol. 217.
Tokareva M.A. Localization of solutions of the equations of filtration in poroelastic medium // Журнал Сибирского федерального ун-та. Серия: Математика и физика. - 2015. - Т. 8, № 4.
Токарева М.А. Двумерная задача фильтрации в тонком пороупругом слое // Известия Алтайского гос. ун-та. - 2013. - № 1-1 (77).
Папин А.А., Сибин А.Н. Автомодельное решение задачи поршневого вытеснения жидкостей в пороупругой среде // Известия Алтайского гос. ун-та. - 2016. - № 1 (89). D0I:10.14258/izvasu(2016)1-27
Morency C., Huismans R.S., Beaumont C., Fullsack P. A numerical model for coupled fluid flow and matrix deformation with applications to disequilibrium compaction and delta stability // Journal of Geophysical Research. - 2007. - Vol. 112.
Bear J. Dynamics of Fluids in Porous Media. - New York Elsevier, 1972.
Ларькин Н.А., Новиков В.А., Яненко Н.Н. Нелинейные уравнения переменного типа. - Новосибирск, 1983.
Ахмерова И.Г., Папин А.А., Токарева М.А. Математические модели механики неоднородных сред. Часть 1. - Барнаул, 2012.
Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. - М., 1973.
