On the Solvability of the Initial Boundary Value Problem for a System of Equations Describing the Motion of Magma
Abstract
The study deals with the mathematical justification of a filtration model for a viscous fluid in a poroelastic medium. The system of equations under consideration is a generalization of classical filtration models with porosity being a given function. The consideration of porous medium compressibility is a matter of principle. The basis of this model includes fluid mass conservation equations, the porous skeleton, Darcy's law for a fluid with consideration of the porous skeleton movement, the rheological equation for porosity, and the system equilibrium condition. Paragraph 1 provides a brief overview of the main results. In paragraph 2, we state in Euler variables the problem of one-dimensional motion of magma. The transition to Lagrange variables allows us to reduce the original system to a single non-classical equation of the third order. In paragraph 3, the local theorem on the existence of a smooth solution of the initial-boundary value problem with the model dependence of filtration rate and shear viscosity coefficients on porosity is established. Also, the global solvability of the problem is proved. Global a priori estimates play the crucial role in proving the theorem with the estimates of strict positivity and limited porosity being the key features.Downloads
Metrics
References
Connolly J.A.D., Podladchikov Y.Y. Compaction-driven fluid flow in viscoelastic rock // Geodin. Acta. - 1998. - Vol. 11.
Fowler A. Mathematical Geoscience//Interdisciplinary Applied Mathematics. - 2011. - 36.
Terzaghi K. Die Berechnung der DurchlaЁssigkeitsziffer des Tones aus dem Verlauf der hydrodynamischen Spannungserscheinungen, Sitzungsber. Akad. Wis. Wien, Math. Nat. Klasse, Abt. Ila. - 1923. - Vol. 132.
Biot M. A. General theory of threedimensional consolidation // J. Appl. Phys. - 1941. - Vol. 12.
Френкель Я.И. К теории сейсмических и сейсмоэлектрических явлений во влажной почве // Изв. Акад. наук СССР. - 1944. - Т. VIII, №. 4.
Николаевский В.Н. О распространении продольных волн в насыщенных жидкостью упругих пористых средах // Инженерный журнал. - 1963. - Т. III, вып. 2.
Золотарев П.П. Распространение звуковых волн в насыщенной газом пористой среде с жестким скелетом // Инженерный журнал. - 1964. - Т. IV.
Рахматулин Х.А. Основы газодинамики взаимопроникающих движений сжимаемых сред // ПММ. - 1956. - Т. XX.
Антонцев С.Н., Кажихов А.В., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. - Новосибирск, 1983.
Алексеев Г.В., Хуснутдинова Н.В. О разрешимости первой краевой задачи и задачи коши для уравнения одномерной фильтрации двухфазной жидкости // Докл. АН СССР. - 1972 - Т. 202, № 2.
Доманский А.В. О некоторых краевых задачах фильтрации несмешивающихся жидкостей // Математические модели фильтрации и их приложения : c6. науч. тр. / СО РАН. Ин-т гидродинамики. - 1999.
Кружков С.Н., Сукорянский С.М. Краевые задачи для систем уравнений типа двухфазной фильтрации; постановка задач, вопросы разрешимости, обоснование приближенных методов // Матем. сб. - 1977. - T. 104(146), № 1(9).
Бочаров О.Б. О фильтрации двух несмешивающихся жидкостей в сжимаемом пласте // Динамика сплошной среды / СО АН СССР, Ин-т гидродинамики. - 1981. - Вып. 50.
Vedernikov V.V., Nikolaevskii V.N. Mechanics equations for porous medium saturated by a two-phase liquid // Izvestiya Akademii Nauk SSSR, Mekhanika Zhidkosti i Gaza. - 1978. - № 5.
Бочаров О.Б., Рудяк В.Я., Серяков А.В. Простейшие модели деформирования пороупругой среды, насыщенной флюидами // Физикотехнические проблемы разработки полезных ископаемых. - 2014. - № 2.
Rudyak V.Ya., Bocharov O.B., Seryakov A.V. Hierarchical sequence of models and deformation peculiarities of porous media saturated with fluids // Proceedings of the XLI Summer School-Conference Advanced Problems in Mechanics (APM-2013). July 1-6; St-Petersburg. 2013.
Simpson M., Spiegelman M., Weinstein M.I. Degenerate dispersive equations arising in the stady of magma dynamics // Nonlinearity. - 2007. - Vol. 20.
Abourabia A.M., Hassan K.M., Morad A.M. Analytical solutions of the magma equations for rocks in a grnular matrix // Chaos Solutions Fract. - 2009. - Vol. 42.
Geng Y., Zhang L. Bifurcations of traveling wave solutions for the magma equation // Applied Mathematics and computation. - 2010. - Vol. 217.
Tokareva M.A. Localization of solutions of the equations of filtration in poroelastic medium // Журнал Сибирского федерального ун-та. Серия: Математика и физика. - 2015. - Т. 8, № 4.
Токарева М.А. Двумерная задача фильтрации в тонком пороупругом слое // Известия Алтайского гос. ун-та. - 2013. - № 1-1 (77).
Папин А.А., Сибин А.Н. Автомодельное решение задачи поршневого вытеснения жидкостей в пороупругой среде // Известия Алтайского гос. ун-та. - 2016. - № 1 (89). D0I:10.14258/izvasu(2016)1-27
Morency C., Huismans R.S., Beaumont C., Fullsack P. A numerical model for coupled fluid flow and matrix deformation with applications to disequilibrium compaction and delta stability // Journal of Geophysical Research. - 2007. - Vol. 112.
Bear J. Dynamics of Fluids in Porous Media. - New York Elsevier, 1972.
Ларькин Н.А., Новиков В.А., Яненко Н.Н. Нелинейные уравнения переменного типа. - Новосибирск, 1983.
Ахмерова И.Г., Папин А.А., Токарева М.А. Математические модели механики неоднородных сред. Часть 1. - Барнаул, 2012.
Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. - М., 1973.
Izvestiya of Altai State University is a golden publisher, as we allow self-archiving, but most importantly we are fully transparent about your rights.
Authors may present and discuss their findings ahead of publication: at biological or scientific conferences, on preprint servers, in public databases, and in blogs, wikis, tweets, and other informal communication channels.
Izvestiya of Altai State University allows authors to deposit manuscripts (currently under review or those for intended submission to Izvestiya of Altai State University) in non-commercial, pre-print servers such as ArXiv.
Authors who publish with this journal agree to the following terms:
- Authors retain copyright and grant the journal right of first publication with the work simultaneously licensed under a Creative Commons Attribution License (CC BY 4.0) that allows others to share the work with an acknowledgement of the work's authorship and initial publication in this journal.
- Authors are able to enter into separate, additional contractual arrangements for the non-exclusive distribution of the journal's published version of the work (e.g., post it to an institutional repository or publish it in a book), with an acknowledgement of its initial publication in this journal.
- Authors are permitted and encouraged to post their work online (e.g., in institutional repositories or on their website) prior to and during the submission process, as it can lead to productive exchanges, as well as earlier and greater citation of published work (See The Effect of Open Access).
