Достаточные условия выпуклости и аффинности непрерывного отображения
УДК 517.965.252: 514.172
Аннотация
В статье устанавливается критерий выпуклости замкнутого множества в топологическом векторном пространстве: замкнутое множество в топологическом векторном пространстве выпукло тогда и только тогда, когда всякий отрезок с концами в этом множестве содержит хотя бы еще одну точку этого множества. Он обобщает аналогичный результат, установленный ранее для рефлексивных банаховых пространств. С его помощью доказывается достаточное условие планарности k-мерного многообразия в n-мерном аффинном пространстве An: если всякая хорда k-мерной поверхности, представляющей собой замкнутое множество, содержит еще какую-либо точку поверхности, отличную от своих концов, то поверхность является k-мерной плоскостью или ее выпуклым подмножеством с непустой внутренностью относительно этой плоскости. Вместе с теоремой о замкнутом графике эти 2 утверждения используются для установления достаточных условий выпуклости и аффинности непрерывной функции многих переменных, что позволяет решить функциональное уравнение Йенсена от функций многих переменных в классе непрерывных функций новым способом. Методы доказательства - топологические.
Скачивания
Metrics
Литература
Бураго Ю.Д., Залгаллер В.А. Достаточные признаки выпуклости // Вопросы глобальной геометрии. Зап. научн. сем. ЛОМИ. Л.: Наука, 1974. Т. 45. С. 3–53.
Лейхтвейс K. Выпуклые множества. М.: Наука, 1985. 336 с.
Стрекаловский А.С. Введение в выпуклый анализ. Иркутск: Иркутский университет, 2009. 81 с.
Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. СПб.: Лань, 2010. 368 с.
Поликанова И.В. Критерии прямолинейности кривой // Классическая и современная геометрия : матер. Международной конф., посв. 100-летию со дня рожд. проф. Левона Сергеевича Атанасяна (15 июля 1921 — 5 июля 1998), Москва, 1-4 ноября 2021 г. Ч. 1. Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз., ВИНИТИ РАН. М., 2021. Т. 220. С. 86-98. DOI: 10.36535/0233-6723-2023-220-86-98
Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры. М.: Наука, 1968. 272 с.
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления ; в 3 т. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. Т 1. 680 с. 8. Ацель Я. Некоторые общие методы в теории функциональных уравнений одной переменной. Новые применения функциональных уравнений // Успехи математических наук. 1956. Т. 11:3. № 69. С. 3-68.
Ацел Я., Домбр Ж. Функциональные уравнения с несколькими переменными. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 432 с.
Поликанова И.В. Функциональные уравнения от функций многих переменных // Труды семинара по геометрии и математическому моделированию. 2023. № 9. С. 30-45.
Copyright (c) 2024 Ирина Викторовна Поликанова
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.