О границах множеств и границах выпуклых множеств

Аннотация

В статье изучаются условия совпадения границ множества, его замыкания и его внутренности. Выявлена связь между совпадением границ множества с границей его замыкания (внутренности) и совпадением границ дополнения этого множества с границей его внутренности (замыкания). Получена формула для границы границы множества в произвольном топологическом пространстве.

Главные результаты.

1.    Граница границы множества есть объединение границ его внутренности и замыкания.

2.    Для того чтобы граница множества совпадала с границей его внутренности или с границей его замыкания, необходимо (но недостаточно), чтобы внутренность границы этого множества была пуста.

3.    Граница выпуклого тела в n-мерном аффинном пространстве Aⁿ совпадает с границей его замыкания и границей его внутренности. Таким же свойством обладает и дополнение выпуклого множества. Приводится пример звездного множества, не обладающего указанным свойством.

Методы доказательства — топологические, а также используются факты теории выпуклых множеств.