О границах множеств и границах выпуклых множеств
УДК 515.12: 514.172
Аннотация
В статье изучаются условия совпадения границ множества, его замыкания и его внутренности. Выявлена связь между совпадением границ множества с границей его замыкания (внутренности) и совпадением границ дополнения этого множества с границей его внутренности (замыкания). Получена формула для границы границы множества в произвольном топологическом пространстве.
Главные результаты.
1. Граница границы множества есть объединение границ его внутренности и замыкания.
2. Для того чтобы граница множества совпадала с границей его внутренности или с границей его замыкания, необходимо (но недостаточно), чтобы внутренность границы этого множества была пуста.
3. Граница выпуклого тела в n-мерном аффинном пространстве An совпадает с границей его замыкания и границей его внутренности. Таким же свойством обладает и дополнение выпуклого множества. Приводится пример звездного множества, не обладающего указанным свойством.
Методы доказательства — топологические, а также используются факты теории выпуклых множеств.
Скачивания
Metrics
Литература
Куратовский К. Топология. М.: Мир, 1966. Т. 1. 594 с.
Александров А.Д. Существование почти везде второго дифференциала выпуклой функции и некоторые связанные с ним свойства выпуклых поверхностей // Ученые записки ЛГУ Сер. Матем. 1939. Вып. 6. № 3. С. 3-35.
Fillastre F., Izmetiev I., Veronelli G. Hiperbolization of Cusps with Convex Boundary // Manuscripta Mathematica. 2016. Vol. 150 (3-4). P. 475-492. DOI: 10.1007/s00229-015-0814-y
Иванов С. В. Студентам, 2 семестр, весна 2020, лекция 16 (с заметками) Лекции по геометрии и топологии. URL: https://pdmi.ras.ru/~svivanov/uni/uni.html (дата обращения: 22.09.2023).
Хованский A.E Пополнения выпуклых семейств выпуклых множеств // Математические заметки. 2012. Т. 91. № 3. С. 440-458. DOI: 10.4213/mzm8567
Архангельский А.В., Пономарев В.И. Основы общей топологии в задачах и упражнениях. М.: Наука, 1974. 424 с.
Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. СПб.: Лань, 2010. 368 с.
Лейхтвейс K. Выпуклые множества. М.: Наука, 1985. 336 с.
Copyright (c) 2024 Ирина Викторовна Поликанова
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.