Достаточное условие принадлежности кривой границе своей выпуклой оболочки в An
УДК 519.17
Аннотация
В статье рассматриваются некоторые обобщения выпуклой кривой и соотношения между определяемыми ими классами кривых.
Основной результат относится к кривым в n-мерном аффинном пространстве An: невырожденная кривая в An лежит на границе своей выпуклой оболочки, если всякая гиперплоскость пересекает ее не более чем в n точках. Обосновывается теорией выпуклых множеств. Это утверждение обобщает более ранний (2014 г.) результат автора, относящийся к кривым, представляющим собой компактные множества в An. Для евклидова пространства En размерности n в 1947 г. В. Густин доказал более сильную теорему: связное множество, пересекаемое всякой гиперплоскостью не более чем в n точках, представляет собой простую непрерывную кривую, лежащую на границе выпуклого множества. Заметим, что в проективном пространстве размерности n требование пересечения кривой со всеми гиперплоскостями не более чем в n точках входит в определение выпуклой кривой. Таким образом, установленный факт вместе с результатом В. Густина показывает близость понятий выпуклости во всех трех пространствах.
Скачивания
Metrics
Литература
Климов В.С. О локально выпуклых кривых //Моделирование и анализ информационных систем. 2017. Т. 24, №5. DOI: 10.18255/1818-10152017-5-567-577.
Gray A. Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces. New York, 1997.
Запутряева Е.С. Изгибания равносторонних многоугольников с сохранением индекса // Моделирование и анализ информационных систем. 2013. Т. 20, № 1. DOI: 10.18255/1818-10152017-5-567-577.
Christian Bar. Elementary Differential Geometry. Cambridge, 2010.
Прасолов В.В. Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии. М., 2004.
Седых В.Д. Теорема о четырех вершинах пространственной кривой // Функцион. анализ и его прил. 1992. Т. 26, вып. 1.
Седых В.Д. Теорема о четырех вершинах плоской кривой и ее обобщения // Соросовский образовательный журнал. 2000. Т. 6, № 9.
Поликанова И.В. Выпуклые кривые в En. Новосибирск, 1984.
Schoenberg I.J. An isoperimetric inequality for closed curves convex in even-dimensonal euclidean spaces // Acta mathematica. 1954. Т. 91.
Gustin W. Sets of finite planar order. //Duke Math. Journal. 1947. Т. 14.
Анисов С.С. Выпуклые кривые в RPn // Локальные и глобальные задачи теории особенностей: сб. ст. к 60-летию академика Владимира Игоревича Арнольда (Россия, Москва). Тр. МИАН. 1998. Т. 221.
Anisov S.S. Projective convex curves //The Arnold-Gelfand mathematical seminars: geometry and singularity theory. Boston, MA. 1997.
Shapiro B. Discriminants of convex curves are homeomorphic //Proceedings of the American Math. Soc. 1998. Vol. 126, № 7.
Лейхтвейс K. Выпуклые множества. М., 1985.
Поликанова И.В. О линиях с фиксированным максимумом точек пересечения с гиперплоскостями: c6. трудов XVII региональной конф. по математике «МАК-2014», посвящ. 40-летию факультета математики и информ. техн. Барнаул, 2014.
Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М., 1977.
Поликанова И.В. Пересечения полиномиальных линий с плоскостями // Известия Алт. гос. ун-та. 2017. Т. 96, № 4. DOI: 10.14258/izvasu(2017)4-26.
Copyright (c) 2022 Ирина Викторовна Поликанова
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.
