Центральная симметрия звездных плоских тел
УДК 514.172
Аннотация
Известные критерии центральной симметричности сформулированы для выпуклых тел. Наше исследование относится к более широкому классу звездных тел, но ограничено размерностью 2.В статье вводятся понятия сектора и сегмента плоского звездного тела.Основной результат. Пусть плоское тело K звездно относительно своей внутренней точки o. На множестве секторов и сегментов тела K задан просто-аддитивный, монотонный, инвариантный относительно центральной симметрии с центром o функционал F. Тело K центрально-симметрично относительно центра o тогда и только тогда, когда всякая проходящая через точку o хорда делит K на 2 сектора с равнымзначениями функционала F на них.Метод доказательства — «от противного».Рассматривая в качестве таких функционалов величины, имеющие геометрический смысл (центральные геометрические моменты, площадь), получаем как новые, так и известные (для площади) утверждения для плоских выпуклых тел. Небольшое видоизменение доказательства позволяет получить аналогичное утверждение и для периметра (аддитивного, но не просто аддитивного функционала на множестве выпуклых плоских тел): плоское выпуклое тело центрально симметрично тогда и только тогда, когда все хорды, делящие пополам периметр, проходят через одну точку.
Скачивания
Metrics
Литература
S¨uss W. Zusammensetzung von Eikorpern und homothetishen Eiflachen. Tohoku Math. J. 1932. V. 35.
Rogers C.A. Sections and projections of convex bodies // Portugal Math. 1965. V. 24.
Montejano L. Orthogonal projections of convex bodies and central symmetry // Bol. Soc. Mat. Mex. II. 1993. Ser. 28.
Groemer H. On the determination of convex bodies by translates of their projections // Geom. Dedicate. 1997. V. 66.
Chakerian G.D., Klamkin M.S. A three point characterization of central symmetry // Amer. Matsh. Monthly. 2004. V. 111.
Boltyanski V.G., Jeronimo Castro J. Centrally symmetric convex sets // Journal of Convex Analysis. 2007. V. 14. № 2.
Грюнбаум Б. Этюды по комбинаторной геометрии и теории выпуклых тел. М., 1971.
Синяков В.В. Вычислительные методы для задач достижимости и синтеза управлений в условиях нелинейности : дисс. ... канд. ф.-м.н. М., 2015.
Иванов В.К. Теорема единственности обратной задачи логарифмического потенциала для звездных множеств // Изв. МВО. Сер. Мат. : 1958. № 3.
Новиков П.С. Об единственности решения обратной задачи потенциала // Докл. АН ССС. 1938. Т. 18. № 3.
Canete A., Segure Gomis S. Bisections of centrally symmetric planar convex bodies minimizing the maximum relative diameter // Math. MG.2018. ArHive: 1803.00321v1.
Miori C., Peri C., Segura Gomis S. On fencing problems //J. Math. Anal. Appl. 2004. V. 300. № 2.
Хадвигер Г. Лекции об объеме, площади поверхности и изопериметрии. М., 1966.
Menon V.V. A theorem on partitions of mass-distribution //Pacific J. Math. 1966. V.16.
Zarankiewicz K. O prostych polowiacych pola wypukle //Wiadom. Mat. 1959. V. 2. № 2.
Piegat E. O srednicach wypuklych piaskich // Rozsh. Polsk. Towarz. Math. 1963. Ser. 2. № 7.
Grunbaum B. Continuous families of curves // Canadian J. of Math. 1966. V. 18. № 3.
