Исследование численного метода решения краевой задачи для дифференциального уравнения с дробной производной по времени
УДК 517.927
Аннотация
В настоящее время замечается повышенный интерес к проблеме численной реализации моделей многофазной фильтрации в связи с ее огромной экономической значимостью в нефтедобывающей промышленности, гидрологии и управлении ядерных отходов. В отличие от классических моделей фильтрации, модели фильтрации в сильнопористых трещиноватых пластах с фрактальной геометрией скважин изучены недостаточно полно. Решение данной задачи сводится к решению системы дифференциальных уравнений с дробными производными. Построена конечно-разностная схема для решения начально-краевой задачи для уравнения конвекции-диффузии с производной дробного порядка по времени в смысле Капуто-Фабрицио. Получены априорные оценки для решения разностной задачи в предположении существования решения задачи в классе достаточно гладких функций, которые доказывают единственность решения и устойчивость разностной схемы. Показана сходимость решения разностной задачи к решению исходной дифференциальной задачи со вторым порядком по временной и пространственной переменным. Представлены результаты вычислительных экспериментов, подтверждающие достоверность теоретического анализа.
Скачивания
Metrics
Литература
Berdyshev A., Cabada A., Turmetov B. On solvability of some boundary value problem for polyharmonic equation with boundary operator of a fractional order // Applied Mathematical Modelling. 2015. T. 4. DOI: 10.1016/j.apm.2015.01.006.
Alikhanov A.A. A new difference scheme for the time fractional diffusion equation // Journal of Computational Physics. 2015. T. 280. DOI: 10.1016/j.jcp.2014.09.031.
Berdyshev A., Eshmatov B., Kadirkulov B. Boundary value problems for fourth-order mixed type equation with fractional derivative // Electronic Journal of Differential Equations. 2016. № 36.
Agarwal P., Berdyshev A., Karimov E. Solvability of a Non-local Problem with Integral Transmitting Condition for Mixed Type Equation with Caputo Fractional Derivative // Results in Mathematics. 2017. DOI: 10.1007/s00025-016-0620-1.
Бештоков М.Х. Нелокальные краевые задачи для уравнения соболевского типа с дробной производной и сеточные методы их решения // Математические труды. 2018. T. 21, № 2. DOI: 10.17377/mattrudy.2018.21.203.
Beshtokov M. Boundary value problems for degenerate and degenerate fractional order differential equations with non-local linear source and difference methods for their numerical implementation // Ufimskii Mathematicheskii Zhurnal. 2019. Т. 11, № 2.
Kanwal A., Phang C., Iqbal U. Numerical Solution of Fractional Diffusion Wave Equation and Fractional Klein-Gordon Equation via Two-Dimensional Genocchi Polynomials with a Ritz-Galerkin Method // Computation. 2018. T. 6, № 40. DOI: 10.3390/computation6030040.
Jin B., Lazarov Y., Liu Y., Zhou Z. The Galerkin finite element method for a multi-term time-fractional diffusion equation // Journal of Computational Physics. 2015. T. 281. DOI: 10.1016/j.jcp.2014.10.051.
Morales-Delgado V.F., Gomez-Aguilar J.F., Taneco-Hemandez M.A. Analytical solution of the time fractional diffusion equation and fractional convection-diffusion equation, Revista Mexicana de Fisica. 2019. T. 65. DOI: 10.31349/RevMexFis.65.82.
Liu F., Zhuang P., Burrage K. Numerical methods and analysis for a class of fractional advection-dispersion models // Computers and Mathematics with Applications. 2012. T. 64 DOI: 10.1016/j.camwa.2012.01.020.
Alikhanov A.A. A priori estimates for solutions of boundary value problems for fractional-order equations Differential Equations. 2010. T. 46. DOI: 10.1134/S0012266110050058.
