Критерий однородности отображения

УДК 511.8

Аннотация

Предлагается определение однородного отображения, базирующееся на понятии действия группы. Показывается, как в этих терминах можно описать большинство обобщений понятия «однородная функция», будь то положительная, абсолютная, ограниченная однородности, лямбда-однородность или однородные распределения.

Основной результат. Пусть некоторая группа действует на множестве задания и на множестве значений отображения, причем на множестве значений — коммутативно. Отображение однородно относительно этих действий тогда и только тогда, когда условие однородности справедливо для порождающего множества этой группы.

Чаще всего множества задания и множества значений отображений представляют собой векторные пространства, а в качестве действующей группы выступает мультипликативная группа основного поля или ее подгруппы. Поэтому важно знать их порождающие множества. Например, для мультипликативной группы R+ положительных действительных чисел таковыми являются числовые промежутки, возможно, с исключенными из них нулевыми множествами. Как следствие получаем, что однородность функции, понимаемой традиционно, обеспечивается выполнением условия однородности для произвольного промежутка из R+. Данный факт ранее был установлен только для дифференцируемых функций с помощью известного тождества Эйлера для однородных функций.