О некоторых свойствах четырехугольника, вершины которого являются замечательными точками треугольника

УДК 514.112.3

Аннотация

Данная статья посвящена геометрии треугольника, в частности, изучению взаимного расположения вполне определенных замечательных точек неравнобедренного треугольника ABC, где H, I, G, O, N — соответственно его ортоцентр, центр вписанной окружности, центр тяжести, центр описанной окружности и точка Нагеля. В работе доказаны следующие основные результаты: четырехугольник HNOI является трапецией, диагонали которой пересекаются в точке G, HN параллельна IO, HI не параллельна NO и угол HI0>90°; в трапеции HNOI один из углов равен 90° тогда и только тогда, когда p²= 2R² + 10Rr - r², где p, r, R — соответственно полупериметр, радиусы вписанной и описанной окружностей. Найдены необходимые и достаточные условия, когда около трапеции HNOI можно описать окружность; в трапецию HNOI нельзя вписать окружность; трапеция HNOI не является ортодиагональной; найдена площадь трапеции HNOI, выраженная через параметры p, r, R исходного треугольника ABC. Полученные в статье результаты могут быть использованы при чтении различных курсов по олимпиадной математике, могут быть полезны учащимся старших классов и учителям гимназий с углубленным изучением математики.