О некоторых замечательных точках и отрезках в треугольнике

УДК 514.112.3

  • Юрий Николаевич Мальцев Алтайский государственный педагогический университет (Барнаул, Россия)
  • Анна Сергеевна Монастырева Алтайский государственный университет (Барнаул, Россия)
Ключевые слова: треугольник, радиус описанной окружности, радиус вписанной окружности, полупериметр, замечательная точка

Аннотация

Пусть ra, rb, rc — радиусы, а OA, OB, OC — центры окружностей, касающихся в вершинах треугольника описанной окружности и противоположной стороны этого треугольника. В работе [Andrica D., Marinescu D.S. New interpolation inequalities to Euler's R≥2 // Forum Geometricorum. 2017. Vol. 17] доказано, что 4/R £ 1/ra + 1/rb +1/rc £2/r. В статье [Isaev I., Maltsev Yu., Monastyreva A. On some relations in geometry of a triangle // Journal of Classical Geometry. 2018. Vol. 4] данные неравенства обобщены следующим образом: 1/ra + 1/rb +1/rc=2/R+1/r. В настоящей работе мы вычислили площадь треугольника OAOBOC(см. Теорему 1). Кроме того, доказали ряд соотношений для чисел R-ra, R-rb, R-rc, где R — радиус описанной окружности треугольника ABC. Вычислили величины 1/R-ra+1/R-rb + 1/R-rc  и a/R-ra+b/R-rb + c/R-rc через параметры p, R и r (см. Теорему 2). Дали оценку этим выражениям (см. Теорему 3). Наконец, используя результаты работы [Maltsev Yu., Monastyreva A. On some relations for a triangle // International Journal of Geometry. 2019. Vol. 8 (1)], нашли выражение величины (1-cos(αβ))(1-cos(β-γ))(1-cos(α-γ)) через параметры p, R, r, что позволило нам дать новое доказательство фундаментального неравенства треугольника (см. Следствие 2).

Скачивания

Данные скачивания пока недоступны.

Metrics

Загрузка метрик ...

Биографии авторов

Юрий Николаевич Мальцев, Алтайский государственный педагогический университет (Барнаул, Россия)

доктор физико-математических наук, профессор кафедры математики и методики обучения математике

Анна Сергеевна Монастырева, Алтайский государственный университет (Барнаул, Россия)

доцент кафедры алгебры и математической логики

Литература

Andrica D., Marinescu D.S. New interpolation inequalities to Euler’s R  2r // Forum Geometricorum. 2017. Vol. 17.

Isaev I., Maltsev Yu., Monastyreva A. On some relations in geometry of a triangle // Journal of Classical Geometry. 2018. Vol. 4.

Maltsev Yu., Monastyreva A. On some relations for a triangle // International Journal of Geometry. 2019. Vol. 8(1).

Soltan V., Maidman S. Identities and inequalities in a triangle. Kishinev, 1982 (in Russian).

Wu S. A sharpened version of the fundamental triangle inequality // Mathematical Inequalities and Applications. 2008. Vol. 11(3).

Andrica D., Barbu C., Piscoran L. The geometric proof to a sharp version of Blundon’s inequalities // Journal of Mathematical Inequalities. 2017. Vol. 17(4).

Bottema O., Djordjevic R., Janic R., Mitrinovic D., Vasic P. Geometric Inequalities. Groningan, 1969.

Mitrinovic D. Recent Advances in Geometric Inequalities. Netherlands, Dordrecht, 1989.

Blundon W. On certain polynomial associated with a triangle // Math. Mag. 1963. Vol. 36.

Blundon W. Inequalities associated with a triangle // Canadian Math.Bull. 1965. Vol. 8.

Опубликован
2021-03-17
Как цитировать
1. Мальцев Ю. Н., Монастырева А. С. О некоторых замечательных точках и отрезках в треугольнике // Известия Алтайского государственного университета, 2021. № 1(117). С. 106-111. URL: http://izvestiya.asu.ru/article/view/%282021%291-18.