О некоторых замечательных точках и отрезках в треугольнике

УДК 514.112.3

Аннотация

Пусть r_a, r_b, r_c — радиусы, а O_A, O_B, O_C — центры окружностей, касающихся в вершинах треугольника описанной окружности и противоположной стороны этого треугольника. В работе [Andrica D., Marinescu D.S. New interpolation inequalities to Euler's R≥2 // Forum Geometricorum. 2017. Vol. 17] доказано, что 4/R £ 1/r_a + 1/r_b +1/r_c £2/r. В статье [Isaev I., Maltsev Yu., Monastyreva A. On some relations in geometry of a triangle // Journal of Classical Geometry. 2018. Vol. 4] данные неравенства обобщены следующим образом: 1/r_a + 1/r_b +1/r_c=2/R+1/r. В настоящей работе мы вычислили площадь треугольника O_AO_BO_C(см. Теорему 1). Кроме того, доказали ряд соотношений для чисел R-r_a, R-r_b, R-r_c, где R — радиус описанной окружности треугольника ABC. Вычислили величины 1/R-r_a+1/R-r_b + 1/R-r_c  и a/R-r_a+b/R-r_b + c/R-r_c через параметры p, R и r (см. Теорему 2). Дали оценку этим выражениям (см. Теорему 3). Наконец, используя результаты работы [Maltsev Yu., Monastyreva A. On some relations for a triangle // International Journal of Geometry. 2019. Vol. 8 (1)], нашли выражение величины (1-cos(αβ))(1-cos(β-γ))(1-cos(α-γ)) через параметры p, R, r, что позволило нам дать новое доказательство фундаментального неравенства треугольника (см. Следствие 2).