Пересечения полиномиальных линий с плоскостями

Аннотация

Существуют различные подходы в определении таких характеристик линий, как соприкасающаяся плоскость, уплощение и его порядок. Различие в подходах обусловлено тем, что линии рассматриваются в разных пространствах: аффинном и проективном. Поэтому формулировки даются в терминах соответствующих структур: для кривых в аффинном пространстве − через линейную зависимость или независимость систем векторов, для кривых в проективном пространстве - через кратности пересечения линии с плоскостями. Взаимопроникновение двух точек зрения может быть реализовано посредством понятия кратности пересечения линии с поверхностью, общего для обоих пространств, либо переходом к аффинным картам для линий в проективном пространстве. В работе раскрыты связи между дифференциальным и алгебраическим определениями указанных понятий. И хотя равносильность обоих трактовок в области их общей применимости, по-видимому, подразумевается (аргументация по этому вопросу в литературе нам не встречалась), представляется полезным привести строгие обоснования, тем более, что имеются несоответствия, как частичные, так и принципиальные. В данной статье нами дана алгебраическая характеризация точек уплощения порядка k, соответствующая дифференциально-геометрической трактовке; исследованы кратности пересечений полиномиальных линий с плоскостями в n-мерном аффинном пространстве; выявлены необходимое и достаточное условия невырожденности полиномиальных кривых. Примером полиномиальных линий служат кривые Безье, играющие важную роль в компьютерной графике.

DOI 10.14258/izvasu(2017)4-26