Clifford Torus and Klein Bottle

  • М.А. Чешкова Altai State University Email: cma@math.asu.ru
DOI_disc_logo https://doi.org/10.14258/izvasu(2017)1-297)1-01
Keywords: Klein bottle, Mobius band, cross-cap, 4π-periodic function

Abstract

A surface is called the one-sided surface if a local orientation along a closed curve on a tangent space changes its sign. The simplest one-sided surface is the Mobius strip. The Klein bottle and cross-cap are also one-sided surfaces. The Klein bottle can be considered as two Mobius strips glued on edges. In this paper, the Klein bottle is cut into two Mobius strips. We define the closed curve on the Clifford torus in E4 using 4π-periodic vector-function. We get a cross-cap if the Mobius strip degenerates into a point. Indicatrices of normal curvature for the investigated surfaces are studied with the help of computer mathematics. For the Klein bottle, the indicatrix of normal curvature is an ellipse. If the Klein bottle degenerates into a cross-сap, then the indicatrix of normal curvature is a circle.

Downloads

Metrics

PDF views
344
Jan 1969Jul 1969Jan 1970Jul 1970Jan 1971Jul 1971Jan 1972Jul 1972Jan 1973Jul 1973Jan 1974Jul 1974Jan 1975Jul 1975Jan 1976Jul 1976Jan 1977Jul 1977Jan 1978Jul 1978Jan 1979Jul 1979Jan 1980Jul 1980Jan 1981Jul 1981Jan 1982Jul 1982Jan 1983Jul 1983Jan 1984Jul 1984Jan 1985Jul 1985Jan 1986Jul 1986Jan 1987Jul 1987Jan 1988Jul 1988Jan 1989Jul 1989Jan 1990Jul 1990Jan 1991Jul 1991Jan 1992Jul 1992Jan 1993Jul 1993Jan 1994Jul 1994Jan 1995Jul 1995Jan 1996Jul 1996Jan 1997Jul 1997Jan 1998Jul 1998Jan 1999Jul 1999Jan 2000Jul 2000Jan 2001Jul 2001Jan 2002Jul 2002Jan 2003Jul 2003Jan 2004Jul 2004Jan 2005Jul 2005Jan 2006Jul 2006Jan 2007Jul 2007Jan 2008Jul 2008Jan 2009Jul 2009Jan 2010Jul 2010Jan 2011Jul 2011Jan 2012Jul 2012Jan 2013Jul 2013Jan 2014Jul 2014Jan 2015Jul 2015Jan 2016Jul 2016Jan 2017Jul 2017Jan 2018Jul 2018Jan 2019Jul 2019Jan 2020Jul 2020Jan 2021Jul 2021Jan 2022Jul 2022Jan 2023Jul 2023Jan 2024Jul 2024Jan 2025Jul 2025Jan 202640
|

References

Mashke H. Note on the unilateral surface of Moebius // Trans. Amer. Math. Soc., 1900. - Vol. 1, № 1.

Сабитов И.Х. Изометрические погружения и вложения плоского листа Мёбиуса в евклидовы пространства // Известия РАН. - 2007. - T. 71, № 5.

Кривошапко С.Н., Иванов В.Н., Халаби С.М. Аналитические поверхности. - М., 2006.

Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. - M., 1981.

Чешкова М. А. О бутылке Клейна // Известия Алтайского гос. ун-та. - 2012. - T. 73, № 1/1.

Чешкова М. А. О плоском листе Мёбиуса // Известия Алтайского гос. ун-та. - 2013. - T. 77, № 1/2.

Борисюк А^. Глобальные бифуркации на бутылке Клейна. Общий случай // Математический сборник. - 2005. - Т. 196, № 4.

Набеева Л.Р. Классификация узлов в утолшенной бутылке Клейна // Вестник Челябинского гос. ун-та. - 2012. - T. 280, № 26.

Карпухин М.А. Немаксимальность экстремальных метрик на торе и бутылке Клейна // Математический сборник. - 2012. - Т. 280, № 26.

Журавлев В.Г. Множества ограниченного остатка на двулистной накрывающей бутылки Клейна // Записки научных семинаров Санкт-Петербургского отделения математического ин-та им. В.А. Стеклова РАН. - 2014. - Т. 429, № 29.

Немировский С.Ю. Гомологический класс лагранжевой бутылки Клейна // Известия Российской академии наук. Серия математическая. - 2009. - Т. 73, № 4.

Шевчишин В.В. Лагранжевы вложения бутылки Клейна и комбинаторные свойства группы классов отображений // Известия Российской академии наук. Серия математическая. - 2009. - Т. 73, № 4.

Козлов И.К. Классификация лагранжевых расслоений // Математический сборник. - 2010. - Т. 201, № 11.

Шалагинов М.Ю., Иванов М.Г., Долгополов М.В. Задачи с оператором Лапласса на топологических поверхностях // Вестник Самарского гос. техн. ун-та. Серия: Физико-математические науки. - 2011. - № 2.

Борисович Ю.Г., Близняков Н.М., Израилевич Я.А., Фоменко Т.Н. Введение в топологию. - M., 1995.

Картан Э. Риманова геометрия в ортогональном репере. - МГУ, 1960.

Кобаяси Ш., Номидзу K. Основы дифференциальной геометрии. - Т. 2. - М., 1981.

Позняк Ю.Г., Шикин Е.В. Дифференциальная геометрия: первое знакомство. - М., 1990.

How to Cite
Чешкова М. Clifford Torus and Klein Bottle // Izvestiya of Altai State University, 1, № 1(93) DOI: 10.14258/izvasu(2017)1-297)1-01. URL: http://izvestiya.asu.ru/article/view/%282017%291-297%291-01.
Issue
No 1(93) (2017): Известия Алтайского государственного университета
Section
Статьи

Izvestiya of Altai State University is a golden publisher, as we allow self-archiving, but most importantly we are fully transparent about your rights.

Authors may present and discuss their findings ahead of publication: at biological or scientific conferences, on preprint servers, in public databases, and in blogs, wikis, tweets, and other informal communication channels.

Izvestiya of Altai State University allows authors to deposit manuscripts (currently under review or those for intended submission to Izvestiya of Altai State University) in non-commercial, pre-print servers such as ArXiv.

Authors who publish with this journal agree to the following terms:

  1. Authors retain copyright and grant the journal right of first publication with the work simultaneously licensed under a Creative Commons Attribution License (CC BY 4.0) that allows others to share the work with an acknowledgement of the work's authorship and initial publication in this journal.
  2. Authors are able to enter into separate, additional contractual arrangements for the non-exclusive distribution of the journal's published version of the work (e.g., post it to an institutional repository or publish it in a book), with an acknowledgement of its initial publication in this journal.
  3. Authors are permitted and encouraged to post their work online (e.g., in institutional repositories or on their website) prior to and during the submission process, as it can lead to productive exchanges, as well as earlier and greater citation of published work (See The Effect of Open Access).