Об изменении кривизны конформно-плоской метрики при преобразовании Лежандра
Аннотация
Известно, что теория конформно-плоских ри-мановых метрик тесно связана с псевдоевклидовой геометрией, что обусловлено существованием канонического изометрического вложения конформно-плоской метрики в изотропный конус псевдоевклидова пространства. Впервые этот факт был замечен X. Бринкманном, а позднее использован в работах Н. Кюипера. Геометрия однородных римановых многообразий с конформноплоской римановой метрикой изучалась в работах А.Д. Алексеевского и Б.Н. Кимельфельда, в которых дана их классификация. В неоднородном случае подобной классификации не существует, поэтому при исследовании конформноплоских римановых многообразий используются ограничения различного типа: либо на размерность многообразия, либо на топологическое строение, либо на различные типы кривизны римано-вого многообразия с конформно-плоской метрикой. В последнем случае хорошо известны теоремы об однородных римановых многообразиях с конформно-плоской метрикой ограниченной одномерной кривизны, полученные В.В. Славским и Е.Д. Родионовым. В данной работе исследуется поведение одномерной кривизны и кривизны Риччи при преобразовании Лежандра конформноплоской римановой метрики.
DOI 10.14258/izvasu(2018)4-16
Скачивания
Metrics
Литература
Brinkmann H.W. On Riemann spaces conformal to Euclidean spaces // Proc. Nat. Acad. Sci. USA 9 (1923), 1–3.
Kuiper N.H. On conformally-flat spaces in large // Ann. of Math. - (2) 1949. - V. 50.
Kuiper N.H. On compact conformally Euclidean spaces of dimention >2 // Ann. of Math. - (2) 1950. - V. 52.
Кантор Б.Е., Франгулов С.А. Об изометричном погружении двумерных римановых многообразий в псевдоевклидово пространство // Мат. заметки. - 1984. - Т. 36, № 3.
Славский В.В. Конформно плоские метрики ограниченной кривизны на n-мерной сфере. Исследования по геометрии «в целом» и математическому анализу. — Новосибирск, 1987. — Т. 9.
Udo Hertrich-Jeromin. Introduction to Mobius Differential Geometry. London mathematical society lecture note series. — Cambridge University Press, 2003.
Решетняк Ю.Г. Теоремы устойчивости в геометрии и анализе. — Новосибирск, 1996.
Топоногов В.А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — М., 2012.
Slavskii V.V. Conformally flat metrics and the geometry of the pseudo-Euclidean space // Siberian Math. J. — 35 (1994).— № 3.
Славский В.В. Оценка коэффициента квазиконформности области через кривизну квазигиперболической метрики // Сиб. мат. журн. — 1999. — Т. 40, № 4.
Славский В.В. Конформно-плоские метрики и псевдоевклидово пространство : автореф. ... дисс. докт. матем. наук. — Новосибирск, 2000.
Славский В.В. Геометрический подход в многомерной теории потенциала // Труды по анализу и геометрии. — Новосибирск, 2000.
Балащенко В.В., Никоноров Ю.Г., Родионов Е.Д., Славский В.В. Однородные пространства: теория и приложения : монография. — Ханты-Мансийск, 2008.
Картан Э. Риманова геометрия в ортогональном репере. — М., 1960.
Родионов Е.Д., Славский В.В. Одномерная секционная кривизна римановых многообразий // Доклады академии наук. — 2002. — Т. 387, № 4.
Nikonorov Yu.G., Rodionov E.D., Slavskii V.V. Geometry of homogeneoues Riemannian manifolds // Journal of Mathematical Scieces. — 2007. — V. 146, № 6.
Kurkina M.V., Rodionov E.D. and Slavskii V.V. Conformally Convex Functions and Conformally Flat Metrics of Nonnegative Curvature // Doklady Mathematics. — 2015. — V. 91, № 3.
Родионов Е.Д., Славский В.В. Полярное преобразование конформно-плоских метрик // Математические труды. — 2017. — Т. 20, № 2.
Copyright (c) 2018 М.В. Куркина
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.
