Пересечения полиномиальных линий с плоскостями
Аннотация
Существуют различные подходы в определении таких характеристик линий, как соприкасающаяся плоскость, уплощение и его порядок. Различие в подходах обусловлено тем, что линии рассматриваются в разных пространствах: аффинном и проективном. Поэтому формулировки даются в терминах соответствующих структур: для кривых в аффинном пространстве − через линейную зависимость или независимость систем векторов, для кривых в проективном пространстве - через кратности пересечения линии с плоскостями. Взаимопроникновение двух точек зрения может быть реализовано посредством понятия кратности пересечения линии с поверхностью, общего для обоих пространств, либо переходом к аффинным картам для линий в проективном пространстве. В работе раскрыты связи между дифференциальным и алгебраическим определениями указанных понятий. И хотя равносильность обоих трактовок в области их общей применимости, по-видимому, подразумевается (аргументация по этому вопросу в литературе нам не встречалась), представляется полезным привести строгие обоснования, тем более, что имеются несоответствия, как частичные, так и принципиальные. В данной статье нами дана алгебраическая характеризация точек уплощения порядка k, соответствующая дифференциально-геометрической трактовке; исследованы кратности пересечений полиномиальных линий с плоскостями в n-мерном аффинном пространстве; выявлены необходимое и достаточное условия невырожденности полиномиальных кривых. Примером полиномиальных линий служат кривые Безье, играющие важную роль в компьютерной графике.
DOI 10.14258/izvasu(2017)4-26
Скачивания
Metrics
Литература
Брус Дж., Джиблин П. Кривые и особенности: Геометрическое введение в теорию особенностей. — М., 1988.
Uribe-Vargas R. On Vertices, Focal Curvatures and Differential Geometry of Spase Curves // Bull. Braz. Math. Soc., new series. — 2005. — T. 36(3).
Лейко С.Г. Р-геодезические преобразования и их группы в касательных расслоениях, индуцированные конциркулярными преобразованиями базисного многоообразия // Известия высших учебных заведений. Математика. — 1998. — № 6 (433).
Поликанова И.В. Некоторые свойства линий с аффинно-эквивалентными дугами // Труды семинара по геометрии и математическому моделированию: сб. ст. — Вып. 2/ под ред. Е. Д. Родионова. — Барнаул, 2016.
Анисов С.С. Выпуклые кривые в RPn // Локальные и глобальные задачи теории особенностей: сб. ст. к 60-летию академика Владимира Игоревича Арнольда: труды МИАН 221. — М., 1998.
Anisov C.C. Projective convex curves // The Arnold-Gelfand mothematical seminars: geometry and singularity theory. — Boston, 1997.
Arnold V.I. On the number of flattening points on space curves // Amer. Math. Soc. Transl. (2) — 1995. — V. 171.
Седых В.Д. Теорема о четырёх вершинах пространственной кривой // Функциональный анализ и его приложения. — 1992. — Т. 26. — Вып. 1.
Седых В.Д. Теорема о четырёх вершинах плоской кривой и её обобщения // Соросовский образовательный журнал. — 2000. — Т. 6. — № 9.
Uribe-Vargas R. On 4-flattening Theorems and the Curves of Charateodory, Barner and Segre // Journal of Geometry. — 2003. — Т. 77.
Copyright (c) 2017 И.В. Поликанова
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.
