Об атомарности внешних мер

УДК 515.123

Аннотация

Исследуется понятие неатомарности для абстрактных внешних мер, определенных на булевом кольце и принимающих значения в произвольном множестве. Для скалярных функций множеств неатомарность множества означает его представимость в виде объединения конечного числа попарно непересекающихся множеств, на любых принадлежащих кольцу подмножествах которых модуль значения функции будет меньше любого заранее заданного положительного числа.

Топологии, связанные с внешней мерой, рассматриваемые нами, являются согласованными со структурой булевого кольца и имеющими определенным образом составленную базу фильтра окрестностей нуля. В такой топологии операции конъюнкции, дизъюнкции, сложения и умножения являются равномерно непрерывными. В работах Л.Я. Савельева представлен обзор современного состояния результатов по обширному кругу вопросов, связанных с внешними мерами и топологиями.

Рассматриваются понятие абстрактной внешней меры, которое охватывает широкий класс мер, и понятие внешней топологии, даны два определения ограниченности в топологической абелевой группе и исследована взаимосвязь этих определений. В основных результатах работы понятие неатомарности меры характеризуется как свойство ограниченности области определения внешней меры в подходящей топологической группе.