Быстродействующие алгоритмы диагонализации трехдиагональных симметричных матриц на основе элементарных плоских вращений

В.И. Иордан

doi:10.14258/izvasu(2017)1-15

В.И. Иордан Алтайский государственный университет Email: jordan@phys.asu.ru

https://doi.org/10.14258/izvasu(2017)1-15

Ключевые слова: трехдиагональная симметричная матрица, плоские вращения, быстродействие, алгоритмы диагонализации матриц

Аннотация

Рассматриваются два алгоритма диагонализации действительных трехдиагональных симметричных матриц, сохраняющие инвариантной (неизменной) трехдиагональную форму и обеспечивающие высокое быстродействие, сравнимое с наиболее быстродействующими алгоритмами QR-метода и аналогичными методами. Предлагаемые алгоритмы диагонализации матриц используют элементарные плоские вращения, которые по сравнению с преобразованиями отражений обладают абсолютной устойчивостью вычислений по Уилкинсону. Приведено доказательство абсолютно устойчивой сходимости предлагаемых алгоритмов, определяющейся по своей сути «интегральными» свойствами в отличие от «дифференциальных» свойств окрестности сходимости в QR-методе, для которого на практике все-таки встречаются случаи неустойчивости и потери точности вычисления собственных чисел. Рассмотрены априорные оценки максимальных погрешностей диагонализации для каждого предлагаемого алгоритма и зависимости временных затрат на диагонализацию матриц алгоритмами автора и QR-методом, полученных на основе вычислительных экспериментов для широкого класса трехдиагональных симметричных матриц.

Скачивания

Данные скачивания пока недоступны.

Metrics

Загрузка метрик ...

Литература

Уилкинсон Дж.Х., Райнш К. Справочник алгоритмов на языке Алгол. Линейная алгебра. - М., 1976.

Парлетт Б. Симметрическая проблема собственных значений. Численные методы / пер. с англ. Х.Д. Икрамова и Ю.А. Кузнецова. - М., 1983.

Watkins D.S. The Matrix Eigenvalue Problem: GR and Krylov Methods // D.S. Watkins. - SIAM. - 2007.

Prodi G. Eigenvalues of non-linear problems // G. Prodi (ed.). - Berlin Heidelberg, 2010.

Новиков М.А. Одновременная диагонализация трех вещественных симметричных матриц // Известия ВУЗов. Математика. - 2014. - № 12.

Кочура А.Е., Подкользина Л.В., Ивакин Я.А., Нидзиев И.И. Сингулярные матричные пучки в обобщенной симметричной проблеме собственных значений // Труды СПИИРАН. - 2013. - Вып. 3(26).

Кузнецов Ю.И. Проблема собственных значений симметричной теплициевой матрицы // Сибирский журнал вычислительной математики. - 2009. - Т. 12, № 4.

Иордан В.И. Эффективные методы определения энергетического спектра матриц большой размерности в задачах экспериментальной физики : дисс.. канд. физ.-мат. наук: 01.04.01. - Барнаул, 2003.