О выпуклой оболочке границы множества
УДК 514.172
Аннотация
В статье изучаются соотношения между выпуклыми оболочками границы множества и замыкания этого множества в аффинном n-мерном пространстве An. В предыдущей работе авторы выявили критерии совпадения выпуклой оболочки границы множества с выпуклой оболочкой его замыкания. Здесь же дается описание замыканий выпуклых оболочек замыкания множества и границы этого множества в случае, если совпадения нет.
Основной результат:
Теорема. Если выпуклая оболочка границы множества X в An не совпадает с выпуклой оболочкой замыкания множества X, то имеет место один из двух случаев:
1. Выпуклая оболочка замыкания множества Х есть пространство An.
2. Замыкание выпуклой оболочки замыкания множества Х есть замкнутое полупространство, при этом замыкание выпуклой оболочки границы множества Х есть либо ограничивающая это полупространство гиперплоскость, либо слой между двумя параллельными гиперплоскостями (включающий эти гиперплоскости), одна из которых ограничивает это полупространство.
Методы доказательства — топологические с опорой на теорию выпуклых множеств в An.
Скачивания
Metrics
Литература
Krein M., Milman D. On Extreme Points of Regular Convex Sets // Studia Mathematica. 1940. Vol. 9. P. 133-138. DOI: : 10.4064/sm-9-1-133-138
Gustin W. On the Interior of the Convex Hull of a Euclidian Set // Bulletian of the American Mathematical Society. 1947. Vol. 53. No 4. P. 299-301. DOI: : 10.1090/S0002-9904-1947-08787-5. MR:0020800
Sakuma Itsuo. Closedness of the Convex Hulls // Journal of Economic Theory. 1977. Vol. 14. P. 223-227. DOI: 10.1016/0022-0531(77)99095-3
Husseinov F. A Note on the Closedness of the Convex Hull and its Applications // Journal of Convex Analysis. 1999. Vol. 6. No 2. P. 387-393. http://hdl.handle/net/11693/25121
Ben-El-Mechaiekh H. On the Closedness of the Convex Hull in a Locally Convex Space // British Journal of Mathematics and Computer Science. 2014. Vol. 4. No 10. P. 1351-1355. DOI: 10.9734/BJMcS/2014/9194
Yuanguo Zhu. Convex Hull and Closure of a Fuzzy Set // Journal of Intelligent and Fuzzy Systems. 2005. Vol. 16. No 1. P. 67-73.
Поликанова И.В., Куркина М.В. Критерии совпадения выпуклых оболочек границы множества и его замыкания // Известия Алтайского государственного университета. 2025. № 1 (141). С. 118-122. DOI: 10.14258/izvasu (2025)1-16
Бакельман И.Я., Вернер А.Л., Кантор Б.Е. Введение в дифференциальную геометрию «в целом». М.: Наука. 1973. 440 с.
Лейхтвейс K. Выпуклые множества. М.: Наука. 1985. 336 с.
Schneider R. Convex Bodies: The Brunn-Minkowski Theory. Cambridge: Cambridge University Press, 1993. 490 p.
Copyright (c) 2025 Ирина Викторовна Поликанова, Мария Викторовна Куркина
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.
