О границах множеств и границах выпуклых множеств
УДК 515.12: 514.172
Аннотация
В статье изучаются условия совпадения границ множества, его замыкания и его внутренности. Выявлена связь между совпадением границ множества с границей его замыкания (внутренности) и совпадением границ дополнения этого множества с границей его внутренности (замыкания). Получена формула для границы границы множества в произвольном топологическом пространстве.
Главные результаты.
1. Граница границы множества есть объединение границ его внутренности и замыкания.
2. Для того чтобы граница множества совпадала с границей его внутренности или с границей его замыкания, необходимо (но недостаточно), чтобы внутренность границы этого множества была пуста.
3. Граница выпуклого тела в n-мерном аффинном пространстве An совпадает с границей его замыкания и границей его внутренности. Таким же свойством обладает и дополнение выпуклого множества. Приводится пример звездного множества, не обладающего указанным свойством.
Методы доказательства — топологические, а также используются факты теории выпуклых множеств.
Скачивания
Литература
Куратовский К. Топология. М.: Мир, 1966. Т. 1. 594 с.
Александров А.Д. Существование почти везде второго дифференциала выпуклой функции и некоторые связанные с ним свойства выпуклых поверхностей // Ученые записки ЛГУ Сер. Матем. 1939. Вып. 6. № 3. С. 3-35.
Fillastre F., Izmetiev I., Veronelli G. Hiperbolization of Cusps with Convex Boundary // Manuscripta Mathematica. 2016. Vol. 150 (3-4). P. 475-492. DOI: 10.1007/s00229-015-0814-y
Иванов С. В. Студентам, 2 семестр, весна 2020, лекция 16 (с заметками) Лекции по геометрии и топологии. URL: https://pdmi.ras.ru/~svivanov/uni/uni.html (дата обращения: 22.09.2023).
Хованский A.E Пополнения выпуклых семейств выпуклых множеств // Математические заметки. 2012. Т. 91. № 3. С. 440-458. DOI: 10.4213/mzm8567
Архангельский А.В., Пономарев В.И. Основы общей топологии в задачах и упражнениях. М.: Наука, 1974. 424 с.
Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. СПб.: Лань, 2010. 368 с.
Лейхтвейс K. Выпуклые множества. М.: Наука, 1985. 336 с.
References
Kuratovski K. Topology. Warszawa: Panstwowe Wydawnictwo Naukowe. 1966. Vol. 1. 560 p.
Alexandrov A.D. Almost Everywhere Existence of the Second Differential of a Convex Function and Some Properties of Convex Surfaces Connected with It. Leningrad State Univ. Annals. 1939. Math. Ser. Vol. 6. No 37. P. 3–35. (In Russ.)
Fillastre F., Izmetiev I., Veronelli G. Hiperbolization of Cusps with Convex Boundary. Manuscripta Mathematica. 2016. Vol. 150 (3–4). P. 475–492. DOI: 10.1007/s00229-015-0814-y
Ivanov S.V. For Students. 2nd Semester, Spring 2020, Lecture 16 (with notes) Lectures on Geometry and Topology . URL: https://pdmi.ras.ru/~svivanov/uni/uni.html. (In Russ.) (accessed 22.09.2023). (In Russ.).
Khovansky A.G. Completion of Convex Families of Convex Sets. Mathematical Notes. 2012. Vol. 91. No 3. P. 440-458. (In Russ.). DOI: 10.1134/S000143461203011X
Arkhangelsky A., Ponomarev V.I. Fundamentals of General Topology in Problems and Exercises. Moscow: Nauka, 1974. 424 p. (In Russ.)
Alexandrov P.S. Introduction to Set Theory and General Topology. Saint Petersburg: Doe, 2010. 368 p. (In Russ.)
Leichtweis K. Convex Sets. Moscow: Nauka, 1985. 336 p. (In Russ.)
Copyright (c) 2024 Ирина Викторовна Поликанова
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.
