On Applicability of a Class of Parametric Functions as Exterior Penalty Operators to Solve Nonlinear Problems with Constraints

  • Т.В. Саженкова Altai State University (Barnaul, Russia) Email: sazhenkov_an@mail.ru
  • А.Н. Саженков Altai State University (Barnaul, Russia) Email: sazhenkov_an@mail.ru
  • Е.А. Плотникова Novosibirsk State Technical University (Novosibirsk, Russia) Email: pselena@gmail.com
  • И.В. Пономарёв Altai State University (Barnaul, Russia) Email: igorpon@mail.ru
DOI_disc_logo https://doi.org/10.14258/izvasu(2019)1-18
Keywords: penalty methods, convex programming, convergence rate estimation

Abstract

  Kaplan’s one-parametric class of functions for solving nonlinear convex minimization problems with one-sided constraints is studied. The set defined by constraints is assumed to have a nonempty interior. In the monographs written by A. Fiacco, G. McCormick, E. Polak, and A. Kaplan, the penalty methods theory and classification of penalty functions are presented quite systematically. With these methods and approaches as backbones, in the present article, we establish that the class of functions under study belongs to the class of exterior penalty functions for problems of convex programming. Application of penalty methods to the solution of nonlinear extremal problems with constraints allows using the toolbox of unconstrained nonlinear optimization, including gradient methods. Kaplan’s penalty functions have fine differential properties. Therefore, they are suitable for use in iterative gradient methods of approximate solution of unconstrained extremal problems. After this, we prove the theorem on convergence of the sequence of approximate solutions of penalized unconstrained extremal problems to the exact solution of the original problem with constraints. As well, we establish a bound on the convergence rate for the penalty method with the one-parametric class of functions serving as penalty functions. This bound is derived provided that the exact resolving of the sequence of unconstrained extremal problems is fulfilled. With the help of these results, one may proceed further with a numerical analysis of the class of problems that are under discussion in the article.

Downloads

Metrics

PDF views
213
Mar 07 '19Mar 10 '19Mar 13 '19Mar 16 '19Mar 19 '19Mar 22 '19Mar 25 '19Mar 28 '19Mar 31 '19Apr 01 '19Apr 04 '193.0
| |

Author Biographies

Т.В. Саженкова, Altai State University (Barnaul, Russia)

доцент кафедры математического анализа

А.Н. Саженков, Altai State University (Barnaul, Russia)
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа  
Е.А. Плотникова, Novosibirsk State Technical University (Novosibirsk, Russia)

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики

И.В. Пономарёв, Altai State University (Barnaul, Russia)

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа

References

Фиакко А., Мак-Кормик А.Г. Нелинейное программирование. Методы последовательной безусловной минимизации: пер. с англ. / под ред. Е.Г. Гольштейна. М., 1972.

Сеа Ж. Оптимизация. Теория и алгоритмы / пер. с франц. М., 1973.

Полак Э. Численные методы оптимизации. Единый подход / пер. с англ. М., 1974.

Поляк Б.Т. О скорости сходимости метода штрафных функций // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1971. Т. 11, №1.

Каплан А.А. Характеристические свойства функций штрафа // Доклады АН СССР. 1973. Т. 210, № 5.

Каплан А.А. О некоторых приложениях программирования к решению нелинейных краевых задач // Вариационно-разностные методы математической физики. Новосибирск, 1973.

Каплан А.А. К вопросу о реализации метода штрафов. Новосибирск, 1976.

Гроссман К., Каплан А.А. Нелинейное программирование на основе безусловной минимизации. Новосибирск, 1981.

Kaplan A. and Tichatschke R. Some results about proximal-like metho ds // A. Seeger (Editor), Recent Advances in Optimization. Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems. Vol. 563. Berlin ; Heidelberg ; New York, 2006.

Griffin J.D. and Kolda T.G. Nonlinearly constrained optimization using heuristic penalty methods and asynchronous parallel generating set search // Applied Mathematics Research eXpress. 2010. Vol. 2010. Issue 1.

Лебедев Д.М., Полякова Л.Н. Метод точных штрафов для решения одной задачи выпуклого программирования // Вестник СПбГУ Сер. 10. 2014. Вып. 1.

Полякова А.С., Семенкин Е.С. Сравнительный анализ штрафных функций при решении задач условной оптимизации // Решетневские чтения. Т. 2, №16: Математические методы моделирования, управления и анализа данных. Красноярск, 2012.

Жеребцова О.В. Единый параллельный алгоритм методов приведённых направлений для решения задачи нелинейной оптимизации с ограничениями-неравенствами // Известия вузов. Поволжский район. №3. Технические науки. Информатика, вычислительная техника. 2008.

Урбан А.Р. Методы решения задачи линейного программирования с дополнительными ограничениями на переменные определённого типа // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2015. Т. 15, № 2.

Саженков А.Н., Саженкова Т.В., Пронь С.П. Об исследовании одного класса штрафных функций // Труды семинара по геометрии и математическому моделированию. Вып. 2. Барнаул, 2016.

Саженкова Т.В., Саженков А.Н., Плотникова Е.А. О применении одного класса интегральных штрафных функций при решении вариационных задач // Известия Алтайского гос. ун-та. 2018. №1(99). DOI: 10.14258/ izvasu(2018)1-22.
Published
2019-03-06
How to Cite
Саженкова Т., Саженков А., Плотникова Е., Пономарёв И. On Applicability of a Class of Parametric Functions as Exterior Penalty Operators to Solve Nonlinear Problems with Constraints // Izvestiya of Altai State University, 2019, № 1(105). P. 104-107 DOI: 10.14258/izvasu(2019)1-18. URL: https://izvestiya.asu.ru/article/view/%282019%291-18.
Issue
No 1(105) (2019): Izvestiya of Altai State University
Section
Математика и механика

Izvestiya of Altai State University is a golden publisher, as we allow self-archiving, but most importantly we are fully transparent about your rights.

Authors may present and discuss their findings ahead of publication: at biological or scientific conferences, on preprint servers, in public databases, and in blogs, wikis, tweets, and other informal communication channels.

Izvestiya of Altai State University allows authors to deposit manuscripts (currently under review or those for intended submission to Izvestiya of Altai State University) in non-commercial, pre-print servers such as ArXiv.

Authors who publish with this journal agree to the following terms:

  1. Authors retain copyright and grant the journal right of first publication with the work simultaneously licensed under a Creative Commons Attribution License (CC BY 4.0) that allows others to share the work with an acknowledgement of the work's authorship and initial publication in this journal.
  2. Authors are able to enter into separate, additional contractual arrangements for the non-exclusive distribution of the journal's published version of the work (e.g., post it to an institutional repository or publish it in a book), with an acknowledgement of its initial publication in this journal.
  3. Authors are permitted and encouraged to post their work online (e.g., in institutional repositories or on their website) prior to and during the submission process, as it can lead to productive exchanges, as well as earlier and greater citation of published work (See The Effect of Open Access).