Absolutely Closed Groups in Quasivarieties of Abelian Groups

  • С.А. Шахова Altai State University (Barnaul, Russia)
Keywords: quasivariety, Abelian group, dominion, absolutely closed group

Abstract

For an arbitrary quasivariety M of groups, a group G in M and a subgroup H of G we introduce a set domMG (H), which is referred to as the dominion of the subgroup H of the group G in the quasivariety M. Similarly for the set of all elements of G, each of them has equal images under any pair of homomorphisms from G into an arbitrary group M ∈ M which coincide on H. A group H ∈ M is said to be absolutely closed in M if domMG(H) = H for every group G ∈ Mcontaining H as a subgroup. In this paper, the absolutely closed groups in the quasivarieties of Abelian groups are studied. Let M be an arbitrary quasivariety of Abelian groups, ξ(M) be a set of prime numbers p, for which of them there exists a natural number k = k(p) that the following conditions are true: Zpk−1 ∈ M, and Zpk  M, where Zpk−1 , Zpk are cyclic groups of orders p(k−1)pk respectively. It is proved that a group H ∈ M is absolutely closed in M if and only if the following is true: for any element y of infinite order, belonging to reduced subgroupHr of the group H, and for any number p ∈ M the statement ypk−1 ∈ Hpkr is true.

DOI 10.14258/izvasu(2016)1-34

Downloads

Download data is not yet available.

Author Biography

С.А. Шахова, Altai State University (Barnaul, Russia)
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры и математической логики

References

1. Isbell J.R. Epimorphisms and Dominions // Proceedings of the Conference on Categorical Algebra. — New York 1966.

2. Budkin A. Dominions in Quasivarieties of Universal Algebras // Studia Logica. — 2004. — Т. 78, № 1–2.

3. Higgins P.M. Epimorphisms and Amalgams // Colloq. Math. — 1988. — Т. 56.

4. Шахова С.А. О решетках доминионов в квазимногообразиях абелевых групп // Алгебра и логика. — 2005. — Т. 44, № 2.

5. Шахова С.А. Условия дистрибутивности решеток доминионов в квазимногообразиях абелевых групп // Алгебра и логика. — 2006. —
Т. 45, № 4.

6. Шахова С.А. О существовании решеки доминионов в квазимногообразиях абелевых групп // Известия Алтайского гос. ун-та. —
2011. — Т. 69, № 1.

7. Шахова С.А. Абсолютно замкнутые группы в классе 2-ступенно нильпотентных групп без кручения // Математические заметки. — 2015. — Т. 97, № 6.

8. Magidin A. Dominions in Varieties of Nilpotent Groups // Comm. Algebra. — 2000. — Т. 28, № 3.

9. Magidin А. Absolutely Closed Nil-2 Groups // Algebra Univers. — 1999. — Т. 42, № 1-2.

10. Будкин А.И. О замкнутости локально циклической подгруппы в метабелевой группе // Сиб. матем. журнал. — 2014. — Т. 55, № 6.

11. Будкин А.И. Об абсолютной замкнутости абелевых групп без кручения в классе метабелевых групп // Алгебра и логика. — 2014. — Т. 53, № 1.

12. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. — М., 1977.

13. Мальцев А.И. Алгебраические системы. — М., 1970.

14. Будкин А.И. Квазимногообразия групп. — Барнаул, 2002.

15. Горбунов В.А. Алгебраическая теория квазимногообразий групп. — Новосибирск, 1999.

16. Виноградов А.А. Квазимногообразия абелевых групп // Алгебра и логика. — 1965. — Т. 4, № 6.
How to Cite
Шахова, С. (1). Absolutely Closed Groups in Quasivarieties of Abelian Groups. Izvestiya of Altai State University, (1(89). https://doi.org/https://doi.org/10.14258/izvasu(2016)1-34)1-01